確率は座標系に依存？

質問

「xy座標系で x^2+y^2 = 4の円の中にランダムに点を配置する。このとき点が、単位円x^2+y^2 = 1の中にある確率を求めよ。」という問題があったとします。
単純に考えれば二つの円の面積比をとってP=1/4となるのが自然だと思うのですが、(x,y)=(rcosθ,rsinθ)としてrθ座標系に直してみると面積の比はP=(1*2π)/(2*2π)=1/2となりますよね。
座標系を変換しているのだから面積が変わるのは当然だとも思うのですが、(x,y)と(r,θ)は一対一に対応しているのに確率まで変わってしまうのがどうにも腑に落ちません。確率を計算する際にどうしてrθ座標系に変換すると間違いになるのか、どなたか教えてください。

ちなみにルイスキャロルの枕頭問題集に出ている「平面上にランダムにとった異なる三点が鈍角三角形を作る確率を計算せよ。」という問題を考えているときに、これと似たような問題にぶち当たったので質問させていただきました。

回答No.1

Quattro99 · ベストアンサー

ランダムということは偏りがないということでもあるのではないでしょうか。なので、面積比で確率が求められるのだと思います。
xy座標系でランダムに配置した点をrθ座標系に移すと、場所によって密度が変わりrθ座標系ではランダムとは言えない分布になるので面積比で確率を求めることは出来なくなるのだと思います。

お礼

ありがとうございます！
密度が変わることをうっかり失念していました。
素早い回答感謝です～。

回答No.2

osamuy

面積で考えると、極座標に変換した場合、ヤコビアンrを考慮する必要があるのでは。