3重積分 楕円体での変数変換

質問

3重積分において普通の球座標の変数変換は理解できるのですが

D｛　(x,y,z)　| 楕円体　x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2≦1 (a,b,c＞0)　｝

で x=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosφと変換しますが
球座標の変換　x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosφにa,b,cがつく理由を教えてください

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

>x=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosφと変換しますが
球座標の変換　x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosφにa,b,cがつく理由を教えてください.。　←間違い。
正しくは
「x=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosθと変換しますが
球座標の変換　x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθにa,b,cがつく理由を教えてください.。」

楕円体だからに決まってるじゃないですか.？

つまり、
積分変数を独立した（直交する座標）変数(r, θ, φ）に変換して、変換後の３重積分を独立した直交座標変数による逐次積分（累次積分）に持ち込むためでしょう。
この場合、積分領域Dは
　x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2≦1にx=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosθを代入すると　左辺=r^2となって　楕円体の領域の式が　「r^2≦1」とrだけの簡単な領域の式に変形され、
D'= { (ｒ,　φ, θ) | r^2≦1, 0≦φ＜π, 0≦θ≦π }
　= { (ｒ,　φ, θ) | 0≦r≦1, 0≦φ＜π, 0≦θ≦π }
となります。（結果として煩わしいa,b,cが3重積分の外に括り出せます。)

お礼

丁寧な回答ありがとうございました！

回答No.2

spring135

>x=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosφ

zに間違いがあります。正しくは

x=arsinθcosφ,y=brsinθsinφ,z=crcosθ

このような変換を行うのは

楕円体のx,y,z方向の径がa,b,cだからです。

この変換によって

I=∫∫∫(in v)f(x,y,z)dxdydz

=∫∫∫(in v)f(asinθcosφ,bsinθsinφ,ccosθ)∂(x,y,z)/∂(r,θ,φ)drdθdφ

=abc∫∫∫(in v)f(asinθcosφ,bsinθsinφ,ccosθ)r^2sinθdrdθdφ

となり、領域vの対称性がよい場合は積分が簡単になる利点があります。

お礼

なるほど、簡単にするためということですね
分かりました、ありがとうございました！