数学C、放物線、共有点の個数を求める問いです。

質問

放物線y^2=4xと直線y=kx＋1の共有点の個数を調べよ。

【解答】

y^2=4xにy=kx＋1を代入して、(kx＋1)^2=4x
これを整理して k^2x^2＋2(k-2)x＋1=0…(1)

(i) k^2=0 のとき、つまりk=0のとき

(1) より -4x＋1=0 ∴ x=1/4
よって、共有点は1個
(ii) k^2≠0のとき、つまりｋ≠0のとき

(1) は2次方程式となるから、その判別式をDとすると

D/4=(k-2)^2-k^2=-4(k-1)

したがって、k≠0、ｋ＜1のとき D＞0
ｋ＝1のとき D=0
ｋ＞1のとき D＜0

(i)、(ii)より

ｋ＜0、0＜ｋ＜1のとき、共有点は2個
ｋ＝0、1のとき、共有点は1個
ｋ＞1のとき、共有点は0個

この問いの(i)と(ii)はなにを求めたかったのですか？(i)と(ii)の仮定も分かりません。
お願いします。

回答No.1

fukuda-h · ベストアンサー

最初の２行に注目です。共有点の座標は連立方程式の実数解ですから
y^2=4xにy=kx＋1を代入して、(kx＋1)^2=4x
これを整理して k^2x^2＋2(k-2)x＋1=0…(1)ここまではＯＫですね。
ここで
（１）の実数解が共有点のｘ座標ですから、この方程式が実数解を何個もつかを調べだすのですが・・・・

（１）が二次方程式を表しているか？　いないか？
が問題になるので(i)と(ii)の場合分けが生じます。

あとはそれぞれの場合に時に何個実数解をもつかを調べているだけですね

回答No.3

noname#101087

#1 さんと同趣旨ですが。

>放物線y^2=4xと直線y=kx＋1の共有点の個数を調べよ。

..... k^2x^2＋2(k-2)x＋1=0…(1)

>..... (i)と(ii)はなにを求めたかったのですか？
方程式 (1) の実根の個数を調べたかった。(あたりめぇ？)

>(i)と(ii)の仮定も分かりません。
方程式 (1) の次数を場合わけして調べる戦略。
　k=0 : 1 次 : 1 つの実根
　k≠0 : 2 次
　　　　　|--　D＞0 : 異なる 2 つの実根
　　　　　|--　D = 0 : 二重実根 1 つ

回答No.2

mister_moonlight

＞数学C
＞放物線y^2=4xと直線y=kx＋1の共有点の個数を調べよ。

模範解答は、解法としては、余り賢明な方法ではない。

放物線y^2＝4x　‥‥(1)を座標に描いてみる。そして、直線y＝kx＋1　‥‥(2)を考えると、(2)は点（0、1）を通る直線である。
従って、(1)と(2)の交点の数を求めると良いんだから、先ず　k＝0の時を考える。
次に、k≠0の時、(1)と(2)が接する場合のkの値を、xの2次方程式の判別式＝0から求める。

そうすれば、共有点の数は　模範解答のようになるのは自明だろう。