３点を通る放物線の求め方を教えてください。

質問

３点を通る放物線の求め方を教えてください。

(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3)をこの順番で通り、頂点を(x2,y2)とする放物線を考えます。
３点が直線上になければ、ただ一つの放物線が定まると思います。

x=x2 を対称軸と仮定すれば、
a(x-x2)^2+y-y2=0
が放物線の式になります。
回転を考慮し、c^2+s^2=1 の変数を加えて書きなおせば、
a(cx-sy-cx2+sy2)^2+sx+cy-sx2-cy2=0
となりますが、X=x-x2, Y=y-y2 と置けば、
a(cX-sY)^2+sX+cY=0
となります。

この先、x1, y1 などを代入し、連立方程式にして解けば…と思いましたが上手くいきませんでした。

回答No.4

nag0720 · ベストアンサー

ベクトルで考えてみました。

３点A,B,Cをこの順番で通り、頂点をBとする放物線を考える。
放物線の軸と直線ACとの交点をDとする。
このとき、次の関係が成り立つ。
(BD・BD)(BD・BD)=(BA・BD)(BC・BD)
（・はベクトルの内積、ベクトル記号は省略）

BA=BD-AD、BC=BD-CD
を代入すると、
(BD・BD)(CD・BD)+(AD・BD)(BD・BD)=(AD・BD)(CD・BD)

ここで、AD=pAC　とすると、
CD=-(1-p)AC　でありこれらを代入すると、
p(1-p)(AC・BD)=(1-2p)(BD・BD)

さらに、BD=AD-AB=pAC-AB　を代入して整理すると、

p^3(AC・AC)-3p^2(AB・AC)+2p(AB・AB)+p(AB・AC)-(AB・AB)=0

結局はこれも３次方程式になりますが。ご参考まで。

お礼

慣れないベクトルの計算に苦労しましたが、理解しました。
最初の式は、私の知らない性質でした。

現状では、３次方程式の解法は使わず、tを計算で求めてsとcに変換しています。
３次方程式の根は一つなので、計算は楽ですが、場合分けしなければならないのが欠点です。
この式を使った場合、pは0～1なので、簡単になるかもしれませんね。

ところで、図形的に焦点を求める方法はありませんか？
色々な方法を試したいだけですが。

回答ありがとうございました。

回答No.3

nag0720

＞ところで、その先の方法を解説したものはありませんか？

３次方程式の解ならカルダノの公式があります。
ネットで検索すればいくらでも出てきます。

お礼

言い方が悪かったですね。
３次方程式の解法ではなく、それを使った放物線の求め方です。
自力でこの先を出来るか不安なので。

回答ありがとうございました。

回答No.2

sak_sak

楕円のものですが、以下が参考となるかと思います。
http://imagingsolution.blog107.fc2.com/blog-entry-20.html

参考URL：

http://imagingsolution.blog107.fc2.com/blog-entry-20.html

お礼

どこをどの様に参考にすればよいのかよく分かりませんが、前向きに考えてみます。

回答ありがとうございました。

回答No.1

nag0720

a(cX-sY)^2+sX+cY=0

X1=x1-x2、Y1=y1-y2
X3=x3-x2、Y3=y3-y2
と置けば、
a(cX1-sY1)^2+sX1+cY1=0
a(cX3-sY3)^2+sX3+cY3=0
aを消して、
(sX1+cY1)(cX3-sY3)^2-(sX3+cY3)(cX1-sY1)^2=0
c^3で割って、t=s/cと置けば
(tX1+Y1)(X3-tY3)^2-(tX3+Y3)(X1-tY1)^2=0
これはtに関する３次方程式なので、結局は３次方程式の解を求めることに帰結するのではないですか。

お礼

やっぱり３次方程式ですか。
２次方程式の解法までしか理解してない私には難しそうですね。

ところで、その先の方法を解説したものはありませんか？

回答ありがとうございました。