線分と二次曲線の共有点の問題

質問

問題の解説に疑問があるので質問させていただきます。

問題文は、
「放物線y=x（二乗）+ax+2が、二点A(0,1)、B(2,3)を結ぶ線分と異なる2点で交わるときのaの値の範囲を求めよ」
です。
（「ｘの二乗」の出し方がわからないので文字表記です…）

解答の流れは、
直線ABの方程式と放物線の方程式からy消去（これをf(x)=0とおく）
→f(x)=0が0≦x≦2の範囲で異なる２実数解を持つときを調べる
→(i)D＞0　(ii)D＜軸のx座標＜2　(iii)f(0)＞0 (iv)f(2)＞０　の４つを同時にみたすaの範囲を求める
となっています。

ここで疑問なのが、(iii)と(iv)でなぜ≧0ではなく＞0なのか、です。
D＞0であればf(0)=f(2)=0の場合もアリだと思ったですが…。なぜ不適切なのでしょうか？

よろしければ解答お願いいたします。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

この手の問題は、変域の両端に等号がつく場合の処理は慎重にしなければならない。

f(x)＝x＾2-(1-a)x＋1＝0　だから　f(0)＝1.
従って、0＜x≦2に異なる2つ実数解を持たなければならない。
(1)　x＝2の時。2a＝-3より　f(x)＝(x-2)*(2x-1)＝0となり条件を満たすから解の一部。
(2)　0＜x＜2に異なる2つ実数解を持つ時、判別式＞0、f(0)＞0、f(2)＞0、0＜軸＜2　が条件になる。

(注)
x＾2-(1-a)x＋1＝0　→　x＾2-x＋1＝-ax とすると、原点を通る傾き＝-aの直線が　放物線：y＝x＾2-x＋1と　0≦x≦2　の範囲で異なる2つの交点を持つ条件になる。
その方が、視覚的にも簡単な方法と思うが？

お礼

回答ありがとうございます。
よく分かりました！
f(0)=1に注意していませんでした。
注記で書いていただいた解法もやってみましたが、
確かに視覚的に理解しやすかったです。

ところで解答には「-3/2〈x〈-1」と書かれてあり等号がないのですが、
答えは「-3/2≦x〈-1」であっているでしょうか？
質問を重ねて申し訳ありません。

回答No.1

nag0720

「異なる2点で交わるとき」だからじゃないの？

f(0)=f(2)=0なら、接しているだけだから。

お礼

解答ありがとうございます。

「（xを全実数としたとき）異なる2点で交わる⇔D>0」
「f(0)=f(2)=0だと、放物線が線分の両端点を通る」

だと思ったのですが…。違うんでしょうか？