y=x^3-3x^2+4とy=kx-2kの共有点の

質問

y=x^3-3x^2+4とy=kx-2kの共有点の個数の求め方を教えてください

回答No.1

MSZ006 · ベストアンサー

y=x^3-3x^2+4を変形（因数分解）すると、
y=(x+1)(x-2)^2
また、微分すると、
y'=3x(x-2)
以上からグラフを書いてみます。
極小値となる座標(2,0)、極大値となる座標(0,4)、ｘ軸とのもう一つの交点(-1,0)

一方、y=kx-2kを変形すると、
y=k(x-2)
これは（2,0)を通り、傾きkの直線、ということです。

kの値によって直線の傾きが変わり、3次曲線との共有点の個数が変化します。

お礼

ありがとうございます。
kの値にかかわらず(2,0)を通るんですね！

回答No.2

MSZ006

＃１　続きです。
グラフ的には先のようになりますが、実際に解くには３次曲線の方程式と直線の方程式とを連立して解の個数がどうなるのか、を調べます。

連立して整理すると、
(x-2)(x^-x-(k+2))=0
となります。後ろのカッコ内、
x^-x-(k+2)=0　の解の個数を判別式で考えます。

一点注意としては、x^-x-(k+2)=0　の解がx=2となるケースがある、という点です。
(x-2)(x^-x-(k+2))=0　の前のカッコ内x-2=0の解x=2と重複するので、この点には気をつけてください。