楕円と円の共有点について

質問

x^2+4y^2-2x-3=0と(x-a)^2+y^2=4が共有点を持つという問題で、円のy^2を代入法で楕円の式に代入して、判別式で解こうとしましたが、解けません。回答を見ると、半径2の円のため、共有点を楕円の長軸との距離で解いているのはわかったのですが、代入法で判別式で解けない理由がわかりません。教えて下さい。判別式で解こうとするとルートの中がマイナスになります。よろしくお願いします。

回答No.4

info222_ · ベストアンサー

No.2です。

ANo.2の補足について

>御回答ありがとうございます。文字が含まれるため場合わけが必要なのはわかりますが、最初から場合わけがが必要とわかっていれば、御回答頂いたやり方で解きますが、場合わけをあとからやるつもりで二つの式の連立で判別式で考えるやり方ではなぜだめなのでしょうか？

>二つの式の連立で判別式で考えるやり方ではなぜだめなのでしょうか？
とは言っていません。あなたのやっている解答がどこか間違っているようです。
勘違いしてませんか？
あなたのやり方だと y^2=4-(x-a)^2を楕円の式に代入してyを消去すると
　x^2-2*x-3+4(4-(x-a)^2)=0
　-(3x^2+2(1-4a)x+4a^2-13)=0
　3x^2+2(1-4a)x+4a^2-13=0 …（※1）
判別式D/4=4(a^2-2a+10)=4((a-1)^2+9)>0　…（※2）
したがって（※1）は２実解をもつ。共有点がある場合はそのx座標はこの２実解に含まれるわけです。
という道筋で解答が進むべきところ

>二つの連立では、a^2-2a+10=0となり、解の公式のルートの中がマイナスになります。
何故、(※2)のように正のものが、「a^2-2a+10=0」となるのですか？ルートの中は正なのに「マイナスになります」と言えるのですか？
解答の筋道がめちゃくちゃな気がします。

ANo.2に書いたように、（グラフを描いて）aで場合分けして考えた方が間違いがないと思いますが、いかがでしょうか？

お礼

詳しい説明ありがとうございました。よくわかりました。

回答No.3

gohtraw

代入によって出来るｘの二次方程式はそれだけを見ると解があるように
見えますが、この問題の文脈でいえば円と楕円の関係なので、
ｘの範囲は限定されるはず。その範囲の中に解があるのかという
意味で場合分けをしなければならないのではないでしょうか？

お礼

ありがとうございました。よくわかりました。自分の勘違いに気づきました。

回答No.2

info222_

aの値により共有点の個数が変わりますので場合分けが必要です。
aの値によって√の中がマイナスになるのは場合分けをしないためです。

a>5,a<-3のとき共有点なし。
a=5のとき共有点(3,0)１個
a=-3のとき共有点(-1,0)１個
-3<a<1のとき共有点2個（ｘ軸対称）
((2√(a^2-2·a+10)+4·a-1)/3,　±√(4（1-a)√(a^2-2·a+10)-5(1-a)^2)/3)
a=1のとき共有点2個(3,0),(-1,0)
1<a<5のとき共有点2個（ｘ軸対称）
　(-(2√(a^2-2a+10)-4a+1)/3, ±√(4(a-1)√(a^2-2a+10)-5(a-1)^2)/3)

補足

御回答ありがとうございます。文字が含まれるため場合わけが必要なのはわかりますが、最初から場合わけがが必要とわかっていれば、御回答頂いたやり方で解きますが、場合わけをあとからやるつもりで二つの式の連立で判別式で考えるやり方ではなぜだめなのでしょうか？二つの連立では、a^2-2a+10=0となり、解の公式のルートの中がマイナスになります。。

回答No.1

gohtraw

>共有点を持つという問題
>判別式で解こうとするとルートの中がマイナス

⇒具体的に書いて下さいな。

補足

二つの式を連立で解くとa^2-2a+10=0となり判別式でD>=0で考えましたが、Ｄがルート4-40=-36となります。楕円と円の連立では共有点を求めれないのでしょうか？