漸化式の問題です

質問

こんな問題が出てきました。
　A1=3
　An+1=An+2^n
　これの一般項Anを求めよ。

ここで私は、まず上式を使って、
A1=3
A2=5
A3=9
　・
　・
　・
と求め、そこから階差数列と分かり、さらに

An+1－An＝2^n
と変形し、そこから求めようと思いました。

しかし、どうしても答えがずれてしまいます。

正しい解きかたと解答を教えてほしいです。

回答よろしくお願いします。

回答No.3

proto · ベストアンサー

何がどうずれるのか具体的に書いてもらうと解説がしやすいと思うのですが。

階差数列の公式より
　　A[n] = A[1] + Σ[k=1,n-1]{2^n}
　　　　 = 3 + Σ[k=1,n-1]{2^n}

右辺のΣについては、等差数列の和の公式を思い出して。
初項a=2,公比r=2,項数n-1として
　　Σ[k=1,n-1]{2^n} = 2*(2^(n-1)-1)/(2-1) = 2^n-2
とすれば良いでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。
丁寧でとてもわかりやすかったです。

ずれた理由は、等差数列の和の初項を、2ではなく3にしていました。

回答No.4

CC-Cue

そこまでできているならできると思います。

An+1-An = Bn （階差数列)なら

階差数列からもとの数列を求める場合、

An = A1 + Σ[k=1～n-1]Bk

が分かっていれば答えはすぐそこ！！

お礼

回答ありがとうございます。
おっしゃられた通りすぐそこまで来ていました。
この公式は、しっかり頭に入れておこうと思います。

回答No.2

arrysthmia

いいじゃありませんか。
その式の両辺を n = 1 から n = M まで
総和しましょう。

a(M+1) - a(1) = Σ[n=1…M] 2~n.
右辺は、等比級数ですね？

最後に、M = N - 1 で置き換えれば
終わりです。

お礼

回答ありがとうございます。
なるほど。今回は、公式のNがN-1になっているわけですね。

回答No.1

rabbit_cat

解き方はあってる。
途中の計算を見直してみてください。

お礼

回答ありがとうございます。
解き方があっていてホッとしました。
さっそく見直してみます。