漸化式の解き方

質問

ａ(1)＝３ ａ(n+1)＝ａ(n)＋ｎ^2－ｎ
(ｎ＝１、２、３、・・・)
の時の一般項を求めよ。

という問題ですが、
階差を使って解く、ｂ(n)＝２n－２というのは間違っていますでしょうか？
解答がない問題だったので解いてみたのですが、
うまく答えが出なかったので。

同様に、ａ(1)＝２ ａ(n+1)＝ａ(n)＋３^n (ｎ＝１、２、３、・・・)

の解き方も教えて頂ければ嬉しいです。

よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

前半）
>階差を使って解く、ｂ(n)＝２n－２というのは間違っていますでしょうか？
間違いです。どこから出てきたのでしょうか？

単純に
>ａ(n+1)＝ａ(n)＋ｎ^2－ｎ
のa(n)を左辺に移項して、左辺をb(n)とおくだけですから

　b(n) = a(n+1)-a(n) = n^2 -n

となりますよ！

　b(n-1)+ … +b(1)
　={a(n)-a(n-1)}
　+{a(n-1)-a(n-2)}
　+ …
　+{a(3)-a(2)}
　+{a(2)-a(1)}
(順々に消えて行くので)
　b(n-1)+ … +b(1)=a(n)-a(1) …(A)
一方
　b(n-1)+ … +b(1)=Σ(k=1,n-1) (k^2 -k)
　=(Σ(k=1,n-1) k^2) -(Σ(k=1,n-1) k)
公式を適用して
　b(n-1)+ … +b(1)=(1/6)(n-1)n(2n-1) -(1/2)(n-1)n …(B)

(A),(B)から
　a(n)=a(1)+(1/6)(n-1)n(2n-1) -(1/2)(n-1)n

あとはa(1)を代入し式を整理するだけですから、自力でやってみてください。

後半)
>ａ(1)＝２, ａ(n+1)＝ａ(n)＋３^n

　b(n)=a(n+1)-a(n)=3^n

　b(n-1)+ … +b(1)=3^(n-1) + … +3^1
これは後ろから見れば、初項3、項比3の等比級数
　=3*(3^(n-2)-1)/(3-1)
=(1/2)(3^(n-1)-3) …(C)

一方
　b(n-1)+ … +b(1)
　={a(n)-a(n-1)}+{a(n-1)-a(n-2)}+ … +{a(3)-a(2)}+{a(2)-a(1)}
「前の｛ ｝の項の後ろ」と「後ろの｛ ｝の前の項とが、順々に打ち消して消えて行くので
b(n-1)+ … +b(1) = a(n)-a(1) …（D)

（C),(D)から
　a(n)=a(1)+(1/2)(3^(n-1)-3)

あとはa(1)を代入し式を整理するだけですから、自力でやってみてください。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%8F%E5%92%8C

お礼

勘違いしていた部分がスッキリしたら、スグに解けました！
丁寧なご解答ありがとうございました！

回答No.1

rnakamra

階差数列{b(n)}は
b(n)=a(n+1)-a(n)
となります。
{a(n)}の漸化式を変形すると
a(n+1)-a(n)=n^2-n
ですので

b(n)=n^2-n

となります。

＞ａ(1)＝２ ａ(n+1)＝ａ(n)＋３^n (ｎ＝１、２、３、・・・)
これも階差数列{bn)}が
b(n)=3^n
となります。

a(n)=a(1)+Σ[k:1～n-1]b(k)=a(1)+Σ[k:1～n-1]3^k

となります。
3^kは初項3,公比3の等比数列ですので、その和は等比数列の和の公式を使えば計算できます。

お礼

ｂ(n)の求め方を勘違いしていました！丁寧なご解答ありがとうございました！