数学IIBの漸化式の問題を教えて下さい。

質問

階差数列型の漸化式の問題なんですが、どうしても解けない部分があります。宜しければどの様にして解くかを教えて下さいm(_ _)m

問）次の漸化式を解け。

・a1=3 an+1 - an =3^n

※テキストでのΣ（シグマ）の表し方が分からないので、文にして書かせて頂きます。

まず、
an=3+Σ（3＾kはk=1からn-1まで /Σ上にｎ-1　Σ右に3＾ｋ　Σ下にｋ＝1 ）は初項a＝3　公比ｒ＝3　の等比数列のn-1項の和となりますよね。
an=3+3(1-3^n-1）/1-3
　 =3+3/2・（3^n-1 -1）
とここまでは分かるんですが、この先の展開方法で行き詰まっています。私の解き方の何処が間違っているのかをご指摘頂けたら幸いです。
1.3+1/2・3（3＾ｎ-1　-1）の形にする
2.括弧のある項を展開して3+1/2 ・（9＾ｎ+9＾-1 -1）にする
3.3+ 1/2・ （9＾ｎ-10）に直し、更に3+ 9＾n-10/2 の形にする
4.3+9＾n -5 なので、9＾n -2となる。

自分でも2の部分がおかしいとは自覚しているんですが、3＾ｎ-1をどの様に処理するのかが上手く掴めてません。これは「3＾ｎ+3＾-1＝3＾ｎ-3」　と計算して良いのでしょうか。

ご回答お願いします。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

ここの掲示板のように分数を横1行に書く必要がある際は、
/ の左に分子全体を、右に分母全体を（必要に応じてカッコを使うなどして
どこからどこまでが分子でどこからどこまでが分母かがわかるように、
また、べき乗の部分がどこからどこまでかがわかるように）書いてくださると
大いに助かります。

さて、途中式が
3^(n - 1) - 1
のことだとして、それに3をかけるとどうなるでしょうか（割る2の部分はいったん横へ置いておくとして）。
3 ・ 3^(n - 1) = 3^n
ですから、
3{3^(n - 1) - 1}
= 3^n - 3
です。
9の何とか乗にはならないように思います。

お礼

ご回答有難うございます。マイナス乗に関して習った記憶が何故か無かったのですが、一度理解したらスルッと解く事が出来ました。