複素数の1/2乗 緊急！

質問

計算がわからなくなりましたので、教えてください！

ω＝z^(1/2)を求めるために二通りの計算をしました。

(1)
ω＝rexp(jθ)、z=Rexp(jφ)とおく。ｊは複素数
⇒rexp(jθ)　＝　R^(1/2)exp(jφ/2)
したがって比較すると、r＝R^(1/2)　、　θ＝φ/2 + 2πn (nは定数)
よって、ω＝R^(1/2)exp(φ/2 + 2πn)

(2)
ω＝z^(1/2)　⇔　ω^2＝z
同様にω＝rexp(jθ)、z=Rexp(jφ)とおいて
⇒r^2exp(j2θ)　＝　Rexp(jφ)
したがって比較すると、r＝R^(1/2)　、　２θ＝φ ＋ ２πｎ
よって、ω＝R^(1/2)exp(φ/2 + πn)

(1)と(2)の結果で、位相があってません。ちなみに正しいのは(2)のω＝R^(1/2)exp(φ/2 + πn)

意味わからんです。二通りともやってること同じ気がするんですが。。
教えてくださいお願いします。もう嫌になりそうです

回答No.2

banakona · ベストアンサー

＞⇒rexp(jθ)　＝　R^(1/2)exp(jφ/2)

ここがおかしい。アナタは偏角の主値のみを１／２にしている。
与えられた複素数の偏角は、０≦θ＜２πなどと約束しないと一つに定めることはできない。だから、特に約束がなければ主値がφの偏角は　φ、φ±２π、φ±４π、・・・
となる。だから、これを１／２にすると　　φ／２、φ／２±π、φ／２±２π、・・・＝φ／２＋ｍπ　（ｍは整数）

アナタ流でいくと、これに２πｎを加えるのだから、ω＝R^(1/2)exp(φ/2 + ｍπ＋2πn)＝R^(1/2)exp(φ/2 + （ｍ＋2n)π）
ｍ＋２ｎというのは結局整数だから、Lとかで置きなおせば（２）と一致。

回答No.1

info22

(1)でも単位円を描いて位相を考えれば(2)と同じ結果になります。
では、どこで間違ったかというと
z=Rexp(jφ)からR^(1/2)exp(jφ/2 + j2πn)に行くところです。

z=Rexp(jφ)=Rexp(jφ+j2nπ)なので
この式から
z^(1/2)=R^(1/2)exp(jφ/2+jnπ)
としなければいけなかったのです。