｛1-z^(n+1)｝/(1-z)

質問

z=rexp(iθ)としたとき｛1-z^(n+1)｝/(1-z)=1+z+z^2+....+z^n
の実部と虚部を比較してcos,sinについての公式を導けという問題です。

左辺について、z=exp(iθ)であればわかるのですが、rの次数が揃わないのできれいに変形できません。
うまい解法をお願いします。

回答No.1

jcpmutura

z=re^{it}
z~=re^{-it}
とする
(1-z^{n+1})/(1-z)=1+z+z^2+…+z^n
(1-z^{n+1})/(1-z)=Σ_{k=0～n}z^k
(1-z^{n+1})(1-z~)/{(1-z)(1-z~)}=Σ_{k=0～n}z^k
(1-z^{n+1})(1-z~)/(1-z-z~+rr)=Σ_{k=0～n}z^k
(1-z~-z^{n+1}+z~z^{n+1})/(1-z-z~+rr)=Σ_{k=0～n}z^k
(1-z~-z^{n+1}+z~z^{n+1})/(1+rr-2rcost)=Σ_{k=0～n}z^k
(1-z~-z^{n+1}+z~z^{n+1})/(1+rr-2rcost)=Σ_{k=0～n}(r^k)e^{ikt}
(1-z~-z^{n+1}+z~z^{n+1})/(1+rr-2rcost)=Σ_{k=0～n}(r^k)[cos(kt)+isin(kt)]
-z~=-rcost+irsint
-z^{n+1}=-r^{n+1}cos{(n+1)t}-ir^{n+1}sin{(n+1)t}
z~z^{n+1}=r^{n+2}cos(nt)+ir^{n+2}sin(nt)

実部は
[1-rcost-r^{n+1}cos{(n+1)t}+r^{n+2}cos(nt)]/(1+r^2-2rcost)=Σ_{k=0～n}(r^k)cos(kt)
↓
Σ_{k=0～n-1}(r^k)[cos{(k+2)t}+cos(kt)-2costcos{(k+1)t}]=0
↓
cos{(k+2)t}+cos(kt)=2costcos{(k+1)t}

虚部は
[rsint-r^{n+1}sin{(n+1)t}+r^{n+2}sin(nt)]/(1+r^2-2rcost)=Σ_{k=0～n}(r^k)sin(kt)
↓
Σ_{k=0～n-1}(r^k)[sin{(k+2)t}+sin(kt)-2costsin{(k+1)t}]=0
↓
sin{(k+2)t}+sin(kt)=2costsin{(k+1)t}