伝達関数G(s)の極座標表示

質問

「演習で学ぶ基礎制御工学」という本の中で、伝達関数G(s)の極座標表示を求めているのですが、その計算過程が理解できていません。
まずは添付された画像をご覧ください。
抜粋しますと、以下の通りです。

G(jω)とG(-jω)は共役複素数であり、これを極座標表示で表すと
G(jω) = |G(jω)|e^(jθ)
θ = ∠G(jω)
G(-jω) = |G(-jω)|e^(-jθ) = |G(jω)|e^(-jθ)

…まず、G(jω) = |G(jω)|e^(jθ)が理解できていません。
r = |z| = √(a^2 + b^2)
の式は知っています。
G(jω)が具体的に√(3)+iみたいな複素数なら、
r = |z| = √{ (√3)^2 + (1)^2 } = √(3 + 1) = √(4) = 2
みたいにイメージできますが、G(jω)で説明されてもイメージできません。
r = |z| = √{ (0)^2 + (ω)^2 } = √(0 + ω^2) = √(ω^2) = ω
じゃないですよね…。

θもtan^(-1) { 1/√(3) } = π/6みたいに出ればイメージできるんですが、∠G(jω)と書かれても…。

G(-jω) = |G(-jω)|e^(-jθ) = |G(jω)|e^(-jθ)は
r = |z| = √{ (√3)^2 + (1)^2 } = √(3 + 1) = √(4) = 2でも
r = |z| = √{ (√3)^2 + (-1)^2 } = √(3 + 1) = √(4) = 2でも
どちらも結果は2になる、みたいなイメージだと思いますが、実際に中で何をやっているかは不明です。
その結果を次の式に入れればよいのは理解しています。

長々と書きましたが、どうかイメージできるように説明をお願いします。

回答No.3

178-tall · ベストアンサー

伝達関数 G(s) は「実係数有理関数」、というのが前提。
「実係数有理関数」は、実係数多項式の分数ですネ。

実係数多項式 P(s) にて s=jω (ωは実数) とした P(jω) では、s の偶数次項が実数値、s の奇数次項が虚数値になる。
つまり、
　P(jω) = r(ω) + i*m(ω)　　： r(ω)、m(ω) は実数値
の形になるので、
　P(jω) = |P(jω)|*e^(jθ)
　　： |P(jω)|= √[ r^2(ω) + m^2(ω) }
　　　 θ=arctan{ m(ω)/r(ω) }
とするのが「極座標表示」の常套手段。

お礼

欲しかったのはこれです！
　　： |P(jω)|= √[ r^2(ω) + m^2(ω) }
　　　 θ=arctan{ m(ω)/r(ω) }
いくら検索しても見つからなかったんです。
ありがとうございました！

回答No.2

info33

具体的な例を示さないと理解できないようだから

入力の例: x(t)=Asin(wt), A=2, w(ω)=√3.
L-R回路の伝達関数G(jw) の例. L=1, R=1, wL=√3.
G(jw)=R/(R+jwL)=1/(1+jw)=1/(1+j√3), G(-jw)=1/(1-jw)=1/(1- j√3)..
|G(jw)|=1/√(1+w^2)=1/2, θ=∠G(jw)= -tan^-1(w)= -tan^-1(√3)= -π/3.
G(jw)=|G(jw)|e^(jθ)={1/√(1+w^2)}e^(-jtan^-1(w))=(1/2)e^(-jπ/3).
G(-jw)=|G(-jw)|e^(-jθ)={1/√(1+w^2)}e^(jtan^-1(w))=(1/2)e^(jπ/3).
y(t)=|G(jw)| A sin(wt+θ)=|G(jw)| A [e^{j(wt+θ))}-e^{-j(wt+θ)}] / (2j)
=(1/2) 2sin(wt-π/3)= sin(wt-π/3), (w=√3.)

といった計算になります
よく読んで理解するようにしてください。

お礼

今、紙に起こし、なんとなく理解できました。w(ω)はωの代わりにwを使うという合図ですね。求めていた回答ではありませんでしたが、具体例で示して下さり、ありがとうございました。

回答No.1

f272

複素数zの絶対値がrで偏角がθであればz=re^(jθ)とかけます。G(jω)の絶対値は|G(jω)|で偏角はθ=∠G(jω)です(そう決めた)から，
G(jω)=|G(jω)|e^(jθ)
です。

お礼

ご回答、ありがとうございます。ただ、その絶対値の計算過程が分からなかったので質問しました。