複素数の計算が分かりません…

質問

複素数の計算が分かりません…

z^2-(3+2i)z+(1+3i)=0を満足するzを求めよ。
っという問題なのですが、z=x+iyを代入して係数比較から求めようとしたのですがうまくできません…
回答よろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.1

f272 · ベストアンサー

z=x+yiを代入して
(x+yi)^2-(3+2i)(x+yi)+(1+3i)=0
x^2-y^2-3x-2y+1+(2xy-2x-3y+3)i=0
x^2-y^2-3x-2y+1=0かつ2xy-2x-3y+3=0
第2式から(2x-3)(y-1)=0となってx=3/2またはy=1
x=3/2のときは第1式に代入して
9/4-y^2-9/2-2y+1=0
y^2-2y+5/4=0
となるがyが実数の範囲で解はない。
y=1のときは第1式に代入して
x^2-1-3x-2+1=0
x^2-3x-2=0
(x-1)(x-2)=0
x=1またはx=2
結局，与えられた式の解はz=1+iまたはz=2+i

しかし
z^2-(3+2i)z+(1+3i)=0
を見て，足して3+2i，かけて1+3iになるものを求めると，即座にz=1+iまたはz=2+iが出てくる。

お礼

ベストアンサーに迷いましたが、分かりやすかったので選ばせていただきました！
回答ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.4

noname#261884

失礼。しょっぱなから代入間違ってました。先ほどの回答は破棄します。

回答No.3

info222_

>z=x+iyを代入して係数比較から求めようとした
この方法でも解けますが、
２次方程式の解の公式を使っても溶けますよ！
z^2-(3+2i)z+(1+3i)=0
z={(3+2i)±√((3+2i)^2-4(1+3i))}/2
={3+2i±√(9-4+12i-4-12i)}/2
=(3+2i±√(1))/2 =(3+2i±1)/2
=(4+2i)/2, (2+2i)/2
=2-i, 1+i ... (答)

回答No.2

noname#261884

こんにちは。その方法でいいと思いますよ。ただかなり長くなります。

まず x+iy　を代入して整理します。
x^2+y-3x+1 + (2xy -3y -2x +3) i = 0 ----(1)
これより、
x^2+y-3x+1=0 ----------(2)
2xy -3y -2x +3 =0 --------------(3)
(2)より、
y=-x^2+3x-1 --------------(2)'
これを(3) に代入して整理します。
2x^3 - 9x^2 + 13 x -6 =0 -----------------(4)
このxの三次方程式を解きます。
適当にxに数字を入れてみて、x=1が解だと分かります。
したがって、(x-1)(2x^2-7x +6)=0 ------------(5)
二次方程式の方をさらに因数分解すると
(x-1)(x-2)(2x-3)= 0 --------------(6)
したがって、　x=1,2,3/2 -----------------(7) となります。
x=1 のとき、(2)'より　y= 1
x=2 のとき、y= 1
x=3/2 のとき、y= 5/4
したがって、　
z= 1+1i, 2+1i, 3/2 + 5/4i となります。

あってると思いますが、計算ミス無きにしも非ず。
確認してみてください。xの因数分解までは間違いなくあってます。