複素数√（ｚ１）√（z2）≠√（ｚ１*ｚ２）？？

質問

すぐ下の質問を考えているうちに自分も同じ疑問を持ってしまいました。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1092832

左辺と右辺をそれぞれ計算してみたのですが、
z1=r1exp(jθ1)
z2=r2exp(jθ2) r1,r2≧0 -π/2≦(θ1,θ2)≦π/2
とおいて
左辺＝{r1*exp(jθ1)}^(1/2)*{r2*exp(jθ2)}^(1/2)
　　＝(r1^(1/2)*exp(jθ1/2)*r2^(1/2)*exp(jθ2/2)
　　＝(r1r2)^(1/2)*exp{j(θ1+θ2)/2}

右辺＝{r1exp(jθ1)*r2exp(jθ2)}^(1/2)
　　＝[r1r2*exp{j(θ1+θ2)}]^(1/2)
　　＝(r1r2)^(1/2)*exp{j(θ1+θ2)/2}
　　＝右辺
と式が成立してしまいます。どこが間違えているのでしょうか？具体的に何処がいかなる理由で間違いなのか教えて下さい。

回答No.1

Rossana · ベストアンサー

左辺＝{r1*exp(jθ1)}^(1/2)*{r2*exp(jθ2)}^(1/2)
　　＝(r1^(1/2)*exp(jθ1/2+mπ)*r2^(1/2)*exp(jθ2/2+mπ)
　　＝(r1r2)^(1/2)*exp{j(θ1+θ2)/2}

右辺＝{r1exp(jθ1)*r2exp(jθ2)}^(1/2)
　　＝[r1r2*exp{j(θ1+θ2)}]^(1/2)
　　＝(r1r2)^(1/2)*exp{j(θ1+θ2)/2+nπ}

常に左辺＝右辺とは限らないということになると思います．

お礼

ありがとうございます。疑問は解決です。
整数を使ってｎ乗根になる考えが抜けていたのですね。

回答No.10

nyun

点r*exp(iθ）とr*exp(i(θ+2nπ)）を同一の点だと思う普通の複素平面上で考える限り、＃７の方の通り、
√zは、２値関数（最近は多分こう呼びます）とせざるおえません。
「偏角の小さいほうのみを取る」
とかすればどうか、と考えたくなりますが、そうすると、
「複素平面の単位円周上のどこかの点で√zは不連続（当然ながら非正則）」
というさらに許容しがたい問題が起こります。

多値関数を考えるのがいやなら、
点r*exp(iθ）とr*exp(i(θ+2nπ)）は異なる点
と考える（リーマン面）しかありません。
リーマン面上では、logzも√zも１値の関数になりますし、
√a × √b = √(a × b)
も問題なく成立します。

結局
・点r*exp(iθ）とr*exp(i(θ+2nπ)）を同一の点だとする代わりに、多値関数という気持ち悪いものを許容する
・点r*exp(iθ）とr*exp(i(θ+2nπ)）が異なる点だと考える
のどちらかしかないわけです。

お礼

#8～10の方、ご回答ありがとうございます。まとめレスで失礼します。大学で複素解析を勉強したので本来リーマン面も覚えていなければならないのですが、そこまで分かってたらもっと出世していたでしょう（苦笑）。

回答No.9

noname#24477

多価関数の場合その値の集合として（ｎ個あればｎ個
の集合として）等しいということですね。

それはそれとして納得です。

ただ少し√にこだわると
√は１価で考えるような気がしています。1/2乗と別。しかしそれにこだわることが、有益かどうかは別ですが。
複素関数論ではそういうこだわりはないのですね。

質問者が納得されているようなので、私はこれ以上
書くことは無いと思います。
私も少し昔を思い出しました。

回答No.8

Rossana

例えば，あるテキストでは，
ln(z_1z_2)=lnz_1+lnz_2
ln(z_1/z_2)=lnz_1-lnz_2
が成立するとしています．ただし，「1辺の値がすべて他辺の中にもあるという意味にしなければならない」と書かれています．このことを考慮すると
#7の方のおっしゃられる通り『√a×√b=√(a×b)は成立する』ということでいいと思います．ただし，この場合も，「1辺の値がすべて他辺の中にもあるという意味にしなければならない」ということになるでしょう．
この言葉の意味を完全に理解できていないのですが，多価関数なので，=になるように任意定数を選びなさいということになるのでしょうか．この言葉を正確に表現できる方のご意見をお願いします．

回答No.7

yaksa

調べた結果、やっぱり複素関数としての√は、
√a × √b = √(a × b)
が成立するでよいようですね。

＞＃６さん。
＃５の、n,m,kは、ある一つの整数を表しているのではなくて、整数全体を表しています。（すべての整数n,m,kを入れたものが左辺、右辺の値）

複素関数log(z)は、無限個の値を同時に取る多価関数で、それを使って定義する√は、２つの値を同時に取る２価関数ということです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
大学時代の記憶がちょっと甦ってきました。複素数の場合は整数を使って+２ｎπが出てくるんでしたね。私の疑問そのものは＃１と＃２でほぼ解決しました。

回答No.6

noname#24477

まず
-π/2≦(θ1,θ2)≦π/2　は-π≦(θ1,θ2)≦π　かと思います。

さて具体例で
（（e^2/3πi）^2）^1/2＝(e^4/3πi)^1/2＝e^2/3π
しかし
（（e^2/3πi）^2）^1/2＝(e^4/3πi)^1/2＝(e^-2/3πi)^1/2＝(e^-1/3πi)

結局２価のどちらをとるかという問題になってしまいます。

＃５ではm,n,kのとり方によって変わってくると思います。

お礼

θの定義域を間違えてました。ご指摘ありがとうございます。

回答No.5

yaksa

なんか、自分が引用した方が違う意見を言ってらっしゃるので、
自信がなくなってきました。しっかり計算してみると、

左辺 = exp{1/2log(r1*exp(jθ1))} * exp{1/2log(r2*exp(jθ2))}
　　 = exp{1/2(log(r1)+jθ1+2mπ)} * exp{1/2(log(r2)+jθ2+2nπ)}
　　 = √(r1*r2) * exp{j(θ1+θ2+(m+n)π}

右辺 = exp{1/2log(r1exp(jθ1)*r2exp(jθ2))}
　　 = exp{1/2(log(r1r2)*j(θ1+θ2)+2kπ)}
　　 = √(r1*r2) * exp(j(θ1+θ2)+kπ)

で、m,n,kは整数なので、全体として、左辺＝右辺だと思いますが。？？？

お礼

m,n,kは任意なので、例えばθ1=0,θ2=π/2,m=0,n=1,k=2の時は成立しません。

回答No.4

Rossana

#2の方の表現はn√zよりも一般的で，これをもっと拡張したもの(一般のべき)になります．

z^c=exp(clnz)

回答No.3

Rossana

幾何学的に捉えると，zのn乗根n√zはn個の値を持ち，原点を中心とする半径n√r (r≡|z|)の円周上にあり，正n角形の頂点となります．

回答No.2

yaksa

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1092832
の＃６の方の仰る通り、
複素関数としての√zは、exp(1/2log(z))で定義される２価関数なので複素関数として考えれば、
√a × √b = √(a × b)
は成立します。
xが実数のとき、実数関数の√xは、複素関数√xの２つの値のうち正の方のみを表すということになってるので、変なことになりますが。

お礼

ご回答ありがとうございます。
複素数としての定義にすると成立・・・するのかも知れませんが、私の理解の範疇を超えそうなので立ち入らないことにします。