複素数の微分

質問

こんにちは。複素数についての問題です。ある問題の計算途中で(z^2+1)^nのn-1次微分(zについて)をしなくてはならなくなったのですが、どういう風に表せばいいのか分かりません。分かる方いらっしゃいましたら教えてください。宜しくお願いします。

回答No.7

info22 · ベストアンサー

#1,4,6です。
A#6の補足の回答
>n=oddの場合はr=(n+1)/2 をz^(n+1-2r)に代入するとz^0になりz=1になると思います。
z=1でなくてz^0=1です。zの最低次の項は定数項になります。

>n=even の場合r=(2n-2)/2と置くこと自体は正しいでしょうか？
正しくないですね。
n=4 or 6　の場合で確認してみれば正しくないことが明らかです。
r=(2n-2)/2とおいたらzの最低次の項がzの1次の項になりますか？
最低次項がzの１次項になりますので、そこからrとnの関係が出して下さい。
z^(n+1-2r)＝z~1
となるrを求めるだけです。

お礼

r=n/2と置いたらなんとか出来ました。親切に教えて下さりどうもありがとうございました。またよろしくお願いします。

回答No.6

info22

>n=oddの場合n!/(((n+1)/2)!((n-1)/2)!)となりました。
解答が全部書いてないのでどこの部分を書いて見えるのか理解不能です。
二項展開式の最高次の項はz^(2n)ですから、(n-1)回微分してもzの項はなくなるわけではありません。
n=3 or 5の具体的なケースについて展開式を書いて
それぞれn-1=2 or 4回微分してみれば解答が合っているか確認してみて下さい。誤りに気づくはずです。

>n=evenの場合はr=(2n-2)/2と置いて上の式に代入したところ、2P(3-n)*(n!/(n-1)!)*z^0=2P(3-n)*nとなったのですが、2P(3-n)をどのように扱ったらよいのでしょうか

計算を間違えて見えるようです。
＞2P(3-n)
こういう項が出てくること自体計算が間違っています。
mPr=m!/r!
では、m≧r≧0　です。

計算のプロセスを補足にかかれないのでどこから間違ったのか判断できません。

補足

n=oddの場合はr=(n+1)/2 をz^(n+1-2r)に代入するとz^0になりz=1になると思います。答えを確認したところoddの場合は正しいみたいです。問題のevenの場合なのですが、n=even の場合r=(2n-2)/2と置くこと自体は正しいでしょうか？宜しくお願いします。

回答No.5

endlessriver

＃２です。項が２つだけというのは誤りでした。

回答No.4

info22

#1です。
二項定理を適用すれば
y=(1+z^2)^n=1 + nC1*z^2 + ...+ nCr*z^(2r) +...+z^(2n)
この式をzについて(n-1)回微分すればいいですね。
(n-1)回微分するとzの(n-2)次以下の項はゼロになることを利用して結果を整理します。
n=odd(奇数)の時は展開項数が偶数項
n=even(偶数)の時は展開項数が奇数項
になりますので場合分けが必要です。
n=oddの時
y^(n-1)=[r:0→(n+1)/2]Σ(2n-2r)P(n+1-2r)*nC(n-r)*z^(n+1-2r)
ここで
mPr=m!/r!, nCk=n!/{(n-k)!*k!}

n=evenの時はどうなるか自力でやってみてください。
(解答を補足に書いて頂けば合っているかはチェックしてあげますよ。)

補足

丁寧な解説ありがとうございます。ちょっと混乱してしました。私のけいさんですと、n=oddの場合n!/(((n+1)/2)!((n-1)/2)!)となりました。n=evenの場合はr=(2n-2)/2と置いて上の式に代入したところ、2P(3-n)*(n!/(n-1)!)*z^0=2P(3-n)*nとなったのですが、2P(3-n)をどのように扱ったらよいのでしょうか？もしかしてこれは0になるのですか？

回答No.3

endlessriver

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%AE%9A%E7%90%86

回答No.2

endlessriver

２項展開して、微分すれば２つの項だけ残ることがわかります。これをうまくまとめれば。

補足

回答ありがとうございます。二項展開とはなんですか？もう少し詳しくお願いします。

回答No.1

info22

nが正整数であれば(z^2+1)^n　は正則な関数ですから、実数関数と同様に微分すればいいと思います。