積分の問題

質問

次の複素積分を求めたいです

1) ∫[C]z^n exp(-z) dz

ただし、zは複素数で、nは整数。 積分路Cは原点を中心とする半径Rの円

2) ∫[C]z^n (1-z)^m dz

ただし、zは複素数で、n,mは整数。 積分路Cは原点を中心とする半径R(>2)の円

この２問です。 よろしくお願いします。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

返事が無いな。
1) も 2) も、留数定理一発で求まる計算練習。

1) は、n≧0 のとき、被積分関数が正則で、閉路積分は 0。
ここまでが、A No.1 の内容。
n<0 のときは、C が囲う領域内に被積分関数の唯一の特異点
である -n 位の極 z=0 がある。よって、求める値は
(2πi) Res[z=0]{ z^n exp(-z) } となる。これが、A No.2。
留数を求めるには、型のごとく
Res[z=0] f(z) = (d/dz)^(k-1) { z^k f(z) } [z=0]
ただし f(z) = z^(-k) exp(-z), k = -n としてもよいし、
exp(-z) をマクローリン展開して z^(-n) で割ったものを
直接 z^n exp(-z) のローラン展開と見てもよい。

2) も全く同様。n, m が自然数または 0 であれば、
被積分関数が正則だから、閉路積分は 0。ここまでが、A No.1。
n<0 または m<0 なら、C が囲う領域内に被積分関数の特異点は
n<0 に応じて -n 位の極 z=0 が、
m<0 に応じて -m 位の極 z=1 がある。
場合分けに応じて、留数の合計に 2πi を書けたものが求める値。
留数の求めかたも同上だが、この場合は
Res[z=a] f(z) = (d/dz)^(k-1) { z^k f(z) } [z=a]
を使うのが簡単。
z=1 での留数を計算するときは、w=1-z で置換すると
少し手間が楽かもしれない。

質問氏からのコメントが無いので、答えそのものは書かないが、
上記の手順を踏めとあからさまに要求されている問題だ。

回答No.2

alice_44

ああ、n,m は自然数じゃなく、整数だったか。
訂正：「留数定理」とは何か？

回答No.1

alice_44

「コーシーの積分定理」とは何か？