複素数の問題

質問

z^3=1を満たす解をそれぞれα、β、γとする。（zは複素数）
そのときにα^n+β^n+γ^n　（nは自然数）を考える。このときnが3の倍数の時には1、それ以外では0になることを証明せよ。

という問題なんですが、言ってる意味はわかるんですが、きれいな証明の仕方がわかりません。
とりあえず、z^3=1を満たす解を極座標化して、指数表示してみました。そうすると|z|=1の円を2π/3ごとになり、しかも1以外の2つの解は交互に繰り返して式としては同じ値になることから、証明したいことの意味はわかりました。

そこで証明を考えたんですが、帰納法でやってみたんですが、なかなか思ったように変形できませんでした。
どなたかわかる方がいたら証明の仕方を教えてほしいです。

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

z^3=1 →　（z-1）*（z＾2＋z＋1）＝0　であるから、γ＝1としても良い。
ここから、幾つか方法がある。

（解法-1）
z＾2＋z＋1＝0を解いて、zを極形式で表す。
その上で、ド・モアブルの定理を使うと、α^n+β^n＝2*cos（2nπ/3）となるから、n＝3k、n＝3k＋1、n＝3k＋2　（kは自然数）で場合わけする。

（解法-2）
α^n+β^nを求めると良いのは同じ。

Ｓ（n）＝α^n+β^nとすると、Ｓ（n＋3）-Ｓ（n）＝（α＾n）*（α＾3-1）＋（β＾n）*（β＾3-1）＝0であるから、Ｓ（n）は基本周期が3の周期関数。
よって、Ｓ（1）、Ｓ（2）、Ｓ（3）の値を求めると良い。
Ｓ（1）＝α＋β、Ｓ（2）＝α＾2＋β＾2、Ｓ（3）＝α＾3＋β＾3の値を、α＋β＝-1、αβ＝1を使って求めるだけ。

あと、図形を使っても良いが、そこまでは必要ないだろう。。。。。。ｗ

回答No.2

f272

α^(n+3)+β^(n+3)+γ^(n+3)=α^n+β^n+γ^n
なのだから
α^(n+3)+β^(n+3)+γ^(n+3)
は
α^1+β^1+γ^1
α^2+β^2+γ^2
α^3+β^3+γ^3
のどれかに帰着できるというだけのこと。