複素数の積分

質問

『∫exp(－z^2)dzを
z＝√at+b/2√a (a≠0，－∞＜t＜∞)の経路上で積分せよ。
　ただし、a、bは複素定数とする。』
という問題で
a＝r exp(iθ)　(r＞0、－π＜θ≦π)とすると、
√a＝√r exp[i(θ＋2kπ)／2] (k＝0,1)ですが
この問題の積分経路を実際に複素数平面上に図示すると、直線はb≠0のときは原点を通らず、
直線の動き方が、Re(√a)＞0の場合は左から右へ、
Re(√a)＝0かつIm(√a)＞0の場合は下から上へ、
Re(√a)＝0かつIm(√a)＜0の場合は上から下へ、
Re(√a)＜0の場合は右から左へ動く事が分かりました。
　ここから、どうすればよいのでしょうか？これは以下の質問http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=441692から発生した問題です。

回答No.1

nakaizu · ベストアンサー

元の質問を拝見しました。問題をかえって難しくしているように思います。
∫[-∞,∞]exp(-(ax^2+bx))dx []は積分範囲
を求めるのに実変数xをわざわざ複素変数にする必要はあまり無いと思われます。
この積分が収束するならば
exp(-(ax^2+bx))=exp(-a(x+b/(2a))^2+b^2/(4a))=exp(-a(x+b/(2a))^2 exp(b^2/(4a))
を用いて適当に変数を変えると
exp(b^2/(4a))∫exp(-ax^2)dx
を求めることになります。
Re(a)>0 のときにはaが実数のときと同様に二重積分を使って求められるはずです。
Re(a)=0 のときにはFresnel積分とよばれるものになります。収束が微妙なので、二重積分による方法はできません。
Re(a)<0 のときには収束するかどうか疑問です。すぐには方法を思いつきません。

以上、部分的回答です。

お礼

ありがとうございます。
　そのようにおくと変数変換の際にはｘの係数がなくなり簡単になりますね。
　しかし、
∫[-∞,∞]exp[-(ax^2+bx)]dx
＝∫[-∞,∞]exp[-a(x+b/2a)^2]exp(b^2/4a)dx
ここで、z＝x+b/2aとおくと、
x：－∞→∞に対応するzの経路は点b/2aの位置において実数部が－∞から∞という経路になります。
この経路をCとしますと、
∫[-∞,∞]exp[-(ax^2+bx)]dx
＝exp(b^2/4a)∫[C]exp[-az^2]dz
　これを実数の場合と同じように二重積分の方法で求めようとすると経路が問題で…簡単には求めれないです…。
　この場合でもやはり問題は経路上でどのように積分するかという事になってしまいます。

回答No.4

nakaizu

最初以外の積分範囲を明記せず失礼しました。
実は最初の不等号の段階でb<0の時には全体が正になるように積分範囲をb→0に変更しておく必要があります。
それ以後の積分範囲もb→0
に置き換えてください。
b<0のときには∫(b→0)exp(2Im(a)Rx)dx=1/(2Im(a)R)(1-exp(2Im(a)bR))<1/(2Im(a)R)
となり以前の式でMaxを利用した理由がここにあります。
説明が中途半端で申しわけありませんでした。

お礼

ありがとうございます。Re(a)>0の場合は分かりました！！Cauchyの積分定理を使う事がpointなんですね。これで積分の範囲をうまいことx軸(実軸)上に移すことができるんですね！！

　Re(a)＝0というFresnel積分の場合はどのようにしたらよいのでしょうか？？

回答No.3

nakaizu

z=R+ixとすると
|∫(0→b)exp(-a(R+ix)^2)dx|<∫|exp(-a(R+ix)^2)|dx=∫exp(Re(-a(R+ix)^2))dx=∫exp(-Re(a)(R^2-x^2)+2Im(a)Rx)dx=∫exp(-Re(a)(R^2-x^2)) exp(2Im(a)Rx)dx<exp(-Re(a)(R^2-b^2)∫exp(2Im(a)Rx)dx
∫(0→b)exp(2Im(a)Rx)dx=1/(2Im(a)R)(exp(2Im(a)Rb)-1)
ここでK=exp(Re(a)b^2)/(2Im(a))とすればできあがります。

お礼

詳しい回答ありがとうございました。不等式を以下の点以外は理解できました！！
b>0なら0<x<b≪Rとして
∫(0→b)exp(-Re(a)(R^2-x^2)) exp(2Im(a)Rx)dx<exp(-Re(a)(R^2-b^2)∫(0→b)exp(2Im(a)Rx)dx
は分かりました。
　しかし、－R≪b<x<0なら
∫(0→b)exp(-Re(a)(R^2-x^2))exp(2Im(a)Rx)dx
＝－∫(b→0)exp(-Re(a)(R^2-x^2))exp(2Im(a)Rx)dx
>－exp(-Re(a)(R^2-b^2)∫(b→0)exp(2Im(a)Rx)dx
＝exp(-Re(a)(R^2-b^2)∫(0→b)exp(2Im(a)Rx)dx
となって不等式の符号が逆になってしまうので、このままでは不等式がうまく使えません。
　そこで、b<0の場合は
∫(0→b)exp(-Re(a)(R^2-x^2))exp(2Im(a)Rx)dx
＝－∫(b→0)exp(-Re(a)(R^2-x^2))exp(2Im(a)Rx)dx
<－exp(-Re(a)(R^2-0^2)∫(b→0)exp(2Im(a)Rx)dx
＝exp(-Re(a)R^2)∫(0→b)exp(2Im(a)Rx)dx
と変更が必要不可欠ですよね？？

回答No.2

nakaizu

Re(a)>0とします。bは実数とします。複素平面上のR,R+bi,-R+bi,-Rにあたる点をA,B,C,Dとします。 A→B→C→D→Aの経路でexp(-az^2)を積分すると極がないので0となります。
|∫(A→B)exp(-az^2)dz|<∫(0→b)exp(Re(-a(R+ix)^2))dx < K/R exp(-Re(a)R^2)Max(1,exp(2Im(a)bR))→0 (as R→∞)
ここでKはaとbにdepend する定数です。見難いですがImは虚部です
C→Dでも同様です。
以上より、積分が収束していれば
∫exp(-a(x+bi)^2)dx=∫exp(-ax^2)dx 積分範囲は(-∞<x<∞)
がなりたちます。

お礼

ありがとうございます。
不等式がちょっと分かりにくいので詳説お願いします。