微分方程式

質問

(ｙ－ｘ)ｙ’＝ｙ＋ｘ

この微分方程式の一般解の求め方を教えてください。よろしくお願いします。

答えは　ｘ＾２＋２ｘｙ－ｙ＾２＝Ｃ　です。

回答No.4

Knotopolog · ベストアンサー

(ｙ－ｘ)ｙ’＝ｙ＋ｘ

の両辺に 1/x を乗ずると，

(y/x－1)ｙ’＝y/x＋1

ここで，

　u＝y/x

とおくと，与えられた微分方程式は，

(u－1)ｙ’＝u＋1

と書ける．次に，ｙ’(＝dy/dx)を u に関する微分へ変換するために，
u＝y/x　の両辺を x で微分すると，

　du/dx＝(xy'－y)/x^2

となる．これを y' について解くと，

　x^2 du/dx＝xy'－y

　x du/dx＝y'－y/x

　y'＝x du/dx＋y/x

ここで，u＝y/x を用いると，

　y'＝dy/dx＝x du/dx＋u

となる．これにより微分方程式　(u－1)ｙ’＝u＋1　は，

(u－1)(x du/dx＋u)＝u＋1

と書けるので，これを u について解く．変形すると，

x du/dx＋u＝(u＋1)/(u－1)

x du/dx＝(u＋1)/(u－1)－u

du/[(u＋1)/(u－1)－u]＝(1/x)dx

du/[(1＋2u－u^2)/(u－1)]＝(1/x)dx

(u－1)du/(1＋2u－u^2)＝(1/x)dx

この式を積分すると，c を積分定数として，

∫(u－1)du/(1＋2u－u^2)＝∫(1/x)dx＋c

－(1/2)log(1＋2u－u^2)＝log(x)＋c

ここで，c＝log(C), (C≠0) とすると，

－(1/2)log(1＋2u－u^2)＝log(x)＋log(C)

log(1＋2u－u^2)^(－1/2)＝log(Cx)

自然対数 log(・) をはずすと，

(1＋2u－u^2)^(－1/2)＝Cx

変形すると，

1＋2u－u^2＝(Cx)^(－2)

ここで，u＝y/x なので，これにより

1＋2y/x－(y/x)^2＝(Cx)^(－2)

両辺に x^2 を掛けると，

x^2＋2xy－y^2＝(x^2)(Cx)^(－2)

x^2＋2xy－y^2＝C^(－2)

ここで，あらためて，C^(－2) を C と書けば，

x^2＋2xy－y^2＝C

となり，質問にある

＞＞答えは　ｘ＾２＋２ｘｙ－ｙ＾２＝Ｃ　です。

となります．

回答No.3

pondex

まず，y'=～の形に式を変形させます．
y' ＝ ｙ＋ｘ / ｙ－ｘ　・・・(1)　となるはずです．
ここがポイントで，u ＝ｙ－ｘ・・・(2)とおきます．
(2)をy=～の形にするとｙ＝u ＋ｘ・・・(3)になります．
(1)をuとxの式で表したいので，邪魔なy'を消します．
そのために，(3)をｘで微分します．
すると，y'＝u'+1・・・(4)となると思います．
あとは，(1)に(2)，(3)，(4)を代入するだけです．
そうすると，
u'＋１＝u＋２ｘ / u ⇒　u'＝２ｘ / u　となり
u'＝ｄu /ｄｘから，
u ｄu=２ｘｄｘとなるので，積分すると
u ^２ / ２ = ｘ^２ ＋Ａ　(Ａは積分定数)となります．
ここで，(2)を代入し式を整理すると
ｘ^２＋２ｘｙ－ｙ^２－２Ａ＝０となるはずです．
ここで，２Ａ＝Ｃとおくと
ｘ＾２＋２ｘｙ－ｙ＾２＝Ｃが求まります！！

回答No.2

noname#96417

Z = y / x

回答No.1

rnakamra

y-x=z　とおき、zの微分方程式に作り変える。
y=z+x,y'=z'+1を元の式に代入すればよい。