微分方程式と積分について

質問

以下の問題について、解と解き方を教えていただけないでしょうか。
1.連立微分方程式の一般解と特殊解
(D+2)x-2y=1
x+(D+5)y=2

2.微分方程式の一般解と特殊解
（D^2-2D+1）y=x

3.積分※cは括弧内の閉曲線であり正の向きを持つ
∫c dz/(2z＾2+3z-2) ※(c:｜z｜=1)

回答No.2

noname#232123

1)
形式的に、第二式に(D+2)を乗じ、第一式をひくことより、
(D+4)(D+5)y=(2D+3)1=3 ...(*)
を得ます。

(D+4)(D+5)y=０の解は、
y(t)=A*e^(-3t)+B*e^(-4t)　であり、(*) の特殊解は、y=a*t+b とおいて代入することにより、(a, b)=(0, 1/4) となります。
また、第二式より、x=2 - (D+5)y=3/4 - 2a*e^(-3t) - b*e^(-4t)
となります。(a, b は任意定数)

2)
(D - 1)^2y=0 の解は、y=(a+b*x)*e^(x) で、元方程式の特殊解を、y=a*x+b とすると、
(a, b)=(1, 2) を得ます。

回答No.1

noname#232123

とりあえず、3) に答えます。
３．I=∫[C]f(z)dz, C:|z|=1.
f(z)=1/(2z^2+3z-2)=(1/2)*1/{(z+2)(z-1/2)}.
ですから、f(z)の極z=1/2のみがC内にあるから、
I=2pi*i*Res(f(z), 1/2).
です。ここで、
Res(f(z), 1/2)=lim[z to 1/2](z-1/2)*f(z)=1/5.
です。