微分方程式の定義域

質問

「微分方程式
y'=y/(x+1)
の一般解を求めなさい．」

という問題で答えが，
y=C(x+1)（Cは任意定数）
だったんだすが，x≠-1という条件はいらないのでしょうか？

また，
x>-1のときy=C(x+1)
x<-1のときy=-C(x+1)
という答えは間違っていますか？

回答No.5

arrysthmia · ベストアンサー

←No.4 補足
そのような物を解と認めてしまうと、
例えば、方程式 dy/dx = 2x,　(x,y) = (0,0) に対して、
　x < 1 のとき y = x^2,
　x > 2 のとき y = x^2 + C （C は任意定数）,
　1 ≦ x ≦ 2 では、y は定義しない
のような物が際限なく解になってしまうので、
通常、微分方程式の解と言えば、
連結な領域で微分可能でない物は含めない。

補足

確かにきりがないですねΣ(￣□￣;)

でもやっぱり問題文の答えを，arrysthmiaさんの回答のように，
　　y=C(x+1)（x>-1, Cは任意定数）または y=D(x+1)（x<-1, Dは任意定数）
のようにしてしまうと，僕がNo.4の補足で書いた
　　x>-1のときy=2(x+1)
　　x<-1のときy=-3(x+1)
のような答えを無視してしまう事になると思うのですが…

こういう解釈はどうでしょう？

問題文の一般解は
　　y=C(x+1) （x≠-1，Cは任意定数）
で，特殊解を求めるときは，定義域を任意で指定でき（もちろんx≠-1），連続した定義域でそれぞれ定数Cを指定できる．

例えば，
　　x<-4　　のとき y=2(x+1)　←C=2
　　-2<x<-1 のとき y=0　　　 ←C=0
　　1≦x<5　のとき y=-(x+1)　←C=-1
　　上記以外のxではyを定義しない．
のような複雑な関数も特殊解としては認めるのです．

回答No.7

arrysthmia

←No.5 補足
微分方程式の「一般解」という用語を、
雰囲気ではなく、明確な定義で記述した文献を見たことがない。
あるいは、そういう考えも在って良いのかも知れない。

微分方程式の解として、そのような
定義域が非連結に区分された物を得て、何がウレシイのか、
いまひとつピンと来ないのだけれど。

お礼

微分方程式の一般解の定義ははっきりとは決まってないんですね．
決まってないなら答えを求めても無駄ですね．
とりあえず自分なりにはNo.5補足の解釈で納得できましたし，arrysthmiaさんにもそういう考えはありと認めて頂けたのでそれでよしとしときます．
長々と付き合って頂きありがとうございましたm(_ _)m

補足

おっしゃる通り嬉しくはないですね(^_^;)
実用性も無いですし．

ただ，そのような複雑な関数も微分方程式を満たしている以上，一つの解であることに違いはないですよね??
一般解と言うからにはそのような解も含め，全ての解を表せなければならないと思ったので．

回答No.6

info22

#1です。
略さないで解けば
dy/dx=y/(x+1)

y=0の時
dy/dx=0
y=0(x≠-1)…(■)
は微分方程式を満たす。

y≠0の時
dy/y=dx/(x+1)
log|y|=log|x+1|+A=log(C|x+1|) , C=e^A (>0,A,Cは積分定数)
|y|=C|x+1| (C(>0)は積分定数,x≠-1)
これば
|y/(x+1)|=C (C(>0)は積分定数,x≠-1)
と同じです。
絶対値をはずすなら
y/(x+1)=±C (C(>0)は積分定数)
書き換えて
y=±C(x+1) (C(>0)は積分定数,x≠-1)
となります。

(■)とあわせて
y=±C(x+1) (C(>0)は積分定数), y=0
ただし,x≠-1
とした方がいいですね。

お礼

丁寧に答えて頂きありがとうございますm(_ _)m

回答No.4

arrysthmia

＞ 定数をそろえる必要はありませんね．

違います。
x>-1 の解と、x<-1 の解は、それぞれ異なる解で、
ひとつの解として繋げることはできません。

y'=y/(x+1) の解のうち、
例えば (x,y)=(1,4) を初期値とするものは、y = 2(x+1)（定義域 x>-1）であって、
この解は、x≦-1 の範囲に値を持たず、
(x,y)=(-3,-4) を初期値とするものは、y = 2(x+1)（定義域 x<-1）であって、
この解は、x≧-1 の範囲に値を持ちません。

補足

そうなんですか…？
いまいち納得できません．

(x,y)=(1,4)を初期値として与えられたとき，例えば定義域が
x<-1,-1<x
で，
x>-1のときy=2(x+1)
x<-1のときy=-3(x+1)
という式は初期条件を満たしていますし，問題文の微分方程式
y'=y/(x+1)
も全ての定義域で満たしているので，一つの解として正解のような気がするんですが…

回答No.3

arrysthmia

x≠-1という条件は要ります。

y=C(x+1)（x≠-1, Cは任意定数）　…ではダメで、
y=C(x+1)（x>-1, Cは任意定数）または y=D(x+1)（x<-1, Dは任意定数）　…が正解。

y=C(x+1)（x>-1）が解になるか、y=D(x+1)（x<-1）が解になるかは、
初期値の与え方によって二者択一で、この二つの解を繋げることはできない。

物理学など応用上のナンチャッテ方程式では、表面上 y'=y/(x+1) と書いても、
その実は (x+1)y'=y を意図していることが多くて、その場合は、x=-1 で微分可能に
なるように、C=D として二つの解を繋いでしまうのですが、
そのようにイイカゲンに扱うのならば、x≠-1 を意識する意味は無い。

y'=y/(x+1) を、厳密に x=-1 は代入不能と理解するなら、
y=C(x+1)（x>-1, Cは任意定数）と y=D(x+1)（x<-1, Dは任意定数）は、異なる解です。

回答No.2

gatch_ky

x>-1のときy=C(x+1)
x<-1のときy=D(x+1)
（C,Dは任意定数）

お礼

なるほど！
確かにx>-1とx<-1で定数をそろえる必要はありませんね．
的確な答えありがとうございますm(_ _)m

回答No.1

info22

> y=C(x+1)（Cは任意定数）
> だったんだすが，x≠-1という条件はいらないのでしょうか？
x≠-1という条件はいりますね。
↓
y=C(x+1)（x≠-1,Cは任意定数）

> x>-1のときy=C(x+1)
> x<-1のときy=-C(x+1)
> という答えは間違っていますか？

x=-1のときも触れておかないと不完全で減点されるかも。
たとえば,題意からx≠-1
あるいは,ｘ=-1のとき解なし
などと書いておいた方が良いでしょう。

x>-1のときとx<-1のときは別々に書いても間違いではないですが、
答は、x≠-1をつけて、模範解答のようにまとめておいた方がスマートですね。

お礼

ありがとうございますm(_ _)m
やっぱり答えがいい加減だったんですね(^_^;)