微分方程式

質問

次の微分方程式の一般解を求めよ。
(ｘ＾3＋1)ｙ´＝3ｘ＾2ｙ

この問題と解いていくと、
log|y|=log|x^3+1|+C
このようになりますが、ｙ＝の形にしたいのですが、わかりません。
教えてください。
ちなみに答えは、ｙ＝Ｃ(ｘ＾3＋１)です。

回答No.1

univ-kyoto · ベストアンサー

log|y|=log|x^3+1|+c
|y|=e^(c+log|x^3+1|)
y=e^c*(x^3+1)
ここでe^cは定数なので、e^c=Cとでも置くと、
y=C(x^3+1)となります。

お礼

あぁそういうことですか。
わかりやすく回答してくださってありがとうございます。

回答No.2

rabbit_cat

細かいですが一応
|y|=e^(c+log|x^3+1|)
y=±e^c*(x^3+1)
ですね。で、±e^cをCと置いたわけです。
しかし、これだとC≠0です。
なんですが、元の微分方程式を解いて、
log|y|=log|x^3+1|+C
を導くとき、途中で両辺をyで割ったわけですから、もともと、y≠0の場合のみ考えていたわけです。
なんで、y=0 が微分方程式の解かどうかは、別に確かめないといけません。
で、元の微分方程式に y=0 を代入してみると、これも解だということがわかります。
したがって、ｙ＝Ｃ(ｘ＾3＋１) で、C=0の場合もＯＫということで、
結局、Cには何の制限もなくなって、単に、ｙ＝Ｃ(ｘ＾3＋１) が一般解ということになります。（Ｃ：全ての実数）

お礼

なるほど、すごくわかりやすいです。