部分群についての質問です。

質問

次の集合は、n次対称群S_ｎ の部分群か？

(1) X＝｛σ∈S_ｎ| σ（ｎ）≡ｎ （mod 2）｝

(2) X＝｛σ∈S_ｎ| すべての i＝１，・・・、ｎについてσ（i）≡i （mod 2）｝

(3) X＝｛σ∈S_ｎ| すべての i＝１，・・・、ｎについてσ（i）≡i＋１（mod 2）｝

この三つ(1)と(2)は問題として何が違うのでしょうか？

回答No.5

taktta

(3) X＝｛σ∈S_ｎ| すべての i＝１，・・・、ｎについてσ（i）≡i＋１（mod 2）｝
この場合は、偶数は奇数へ
奇数は、偶数へということで
2回ほどこすとσ1*σ2は偶数⇒偶数、奇数は奇数で
元のＸの中へはいらないですよ。
だから部分群をなしません。

回答No.4

taktta

S6でかんがえれば（１）の条件は６をうつす
ときある偶数に移す。つまり６のみで他の１から５は６を偶数という範囲で自由度があるということですね。
（２）は１は奇数、２は偶数、３は奇数ーーということですね。
おわかりいただけたでしょうか。

お礼

しっかり考えてやってみます。
ありがとうございます。

回答No.3

taktta

1) X＝｛σ∈S_ｎ| σ（ｎ）≡ｎ （mod 2）｝
について
ｘょりσ１とσ２
σ１＊σ２がｘに入るか
σ１＊σ２（ｎ）≡ｎ （mod 2）か？
写像σは、偶数が偶数に移ったり、奇数が奇数にうつること
従って2回やろうが3回やろうが満たす
次σ－１が偶数が偶数に移ったり、奇数が奇数にうつるか
は明らかですよね。
よって部分群です。
他も考えてみてください。

お礼

たしかに　そうですね。
逆元の存在も考えてみたいと思います。

回答No.2

koko_u_

>（１）～（３）が、n次対称群S_ｎ の部分群かどうかをどうやって確かめるかわからないんです。

そのまま部分群の定義を満たすかを確認するだけです。

回答No.1

koko_u_

>この三つ(1)と(2)は問題として何が違うのでしょうか？

私には明らかに違うように見えますが。

補足

すみません。よくわからない質問をしてしまいました。

（１）～（３）が、n次対称群S_ｎ の部分群かどうかをどうやって確かめるかわからないんです。