剰余類の置換表現

質問

永田雅宜「大学院への代数学演習」の第１章第４問に「Gが群、Hが指数有限の部分群であれば、Hは指数有限の正規部分群を含む」ことを示せという問題があります。「剰余類の置換による群の表現を利用する、いわば常識的問題」とのことで解答も載っていないのですが、剰余類の置換というのがググってもそもそも何のことか分かりません。
（１）剰余類の置換とはそもそも何でしょうか。
（２）宜しければどの本の何と言う分野に当たるのかというのもお教え頂けると幸いです。
（３）また、その分野に関する知識を前提としたこの問題へのアプローチも伺いたいと思います。
ご親切な方がいらっしゃいましたら、よろしくお願いします。

回答No.2

K_George · ベストアンサー

以下、集合Aに対してS(A)でAの置換群を表します。
「剰余類の置換による群の表現」とは、b,a∈Gに対してb.aH:=baHとすることによって定まるGのG/Hへの作用のことです。この作用によって準同型f:G→S(G/H)が得られるので、準同型定理よりG/Ker fはS(G/H)の部分群と同型。仮定よりS(G/H)が有限なのでKer fは有限群です。g∈Ker fとすると、gH=Hなのでg∈H,　したがってKer fはHの部分群でかつGの指数有限な正規部分群になります。

お礼

ありがとうございます！４行目の半分まではとてもよく理解できました！
一つ伺いたいのですが、Ker fが有限群というのは、Gにおいて指数が有限ということが最終的に導かれてしまうことから、Gが有限群になってしまうということですか…？
４行目から５行目にかけては[G:Ker f]が有限ということかな、と思ったのですが、そう理解してもよろしいでしょうか…。

補足

４行目というのは入力の時だけでした。「～と同型」までです。

回答No.4

OurSQL

No.2 さんの回答に対する補足なのに、でしゃばって大変恐縮です（冷汗）
もしかしたら、No.2 さんはお忙しいかもしれませんので。

私も見落としていたのですが、文脈から考えても「G/Ker f は有限群です」と書くところを、うっかりなさったのだと思います。
回答内容の欄に PC で入力する作業は面倒で、他の回答者の皆さんも、うっかりは日常茶飯事みたいです。

質問者様は、院試を受験なさるのでしょうか。
もしそうなら、良い結果をお祈りします。

お礼

わざわざありがとうございます！
私もそうだと思ったのですが、以前他のところで質問をさせて頂いた際に私の勘違いだったことがありまして、一応伺おうと思った次第です。ご親切にありがとうございます。

そうです。全く実力不足なのに不遜にも来年の院試を受けようとしています…。何とかなるといいのですが。。
今回はおかげさまですっかり解決しました。一応No2の方をベストアンサーにさせて頂いて、締め切らせて頂きたいと思います。本当に色々とありがとうございました。

回答No.3

OurSQL

なんか、あっさり解決したようですね。
質問者様のリクエスト通りの解法は、No.2 さんのやり方です。

>（１）剰余類の置換とはそもそも何でしょうか。
G/H という有限集合から G/H 自身への全単射が、「剰余類（つまり、G/H の元）の置換」の正体です。

>（２）宜しければどの本の何と言う分野に当たるのかというのもお教え頂けると幸いです。
G/H から G/H への全単射すべてから成る集合は、積を写像の合成と定義することで置換群になります。
そのことは、群論の本には必ず書かれています。

>（３）また、その分野に関する知識を前提としたこの問題へのアプローチも伺いたいと思います。
No.2 さんの解法が鮮やかなので、私は発言しない方がよさそうです。
「群論の問題としてはかなり易しい」というコメントは、群の表現の知識に頼らなくても、この問題は学部2年生で習うやり方でも解けるという意味です。

お礼

剰余類の置換というのは（私にとっては未知の世界である）表現論のような話かと思っていましたが、そうではなかったのですね…。
確かに雪江先生の本には群の作用の項にちゃんと書いてありました。見落としていました。お手数おかけしました。
丁寧にお答えくださってありがとうございました。大変参考になりました。

回答No.1

OurSQL

もしかして、下のURLと同じ問題ですか。
これなら、群論の問題としてはかなり易しいと思いますが。

http://okwave.jp/qa/q7155793.html

お礼

全く同じです。まさか同じ問題が出ているとは思わず重ねて質問してしまい失礼しました。
やはり常識的な問題だったのですね…。