３つの文字の因数分解について質問です

質問

とても困っています。
机と向かい合って２時間ほど考えていましたが、
どれも歯が立たず、時間だけが過ぎていきます。
誰か代わりに解いてくれませんか？

問題…a+b+c=3,a^2+b^2+c^2=9,abc=-1のとき、次の値を求めよ。
(1)ab+bc+ca
(2)a^3+b^3+c^3
(3)a^4+b^4+c^4
(4)a(b^3+c^3)+b(d^3+a^3)+c(a^3+b^3)

情けない話ですが、本当に全て解けませんでした。
しかし腑に落ちないままほうっておきたくないので
分かる人は、教えてください。

回答No.1

BookerL · ベストアンサー

求めたい式を、a+b+c……I、　a^2+b^2+c^2……II、　abc……III　の３つの式を使って表せばいいわけです。

　(1)であれば、ab などの項があるので、I の式の２乗を作ってみましょう。

　(a+b+c)^2 ＝ a^2 + b^2 +c^2 + 2ab + 2bc + 2ca
　　　　　　＝ a^2 + b^2 +c^2 + 2(ab + bc + ca)

となりますから、ここに求めたい　(ab + bc + ca)　がでてきます。そこで、この部分についてとくと

(a+b+c)^2 － a^2 + b^2 +c^2 ＝ 2(ab + bc + ca)
1/2{(a+b+c)^2 － a^2 + b^2 +c^2} ＝ ab + bc + ca

この左辺は I と II の式ですから、値を代入すれば ab + bc + ca が求まります。

　要するに、値の分かっている I II III の式から出発して求めたい式ができるように変形してやるわけです。以下も同じようにやってみてください。

お礼

なるほど！
そうだったんですか。

問題の式ではなく、始めからある式を有効活用するのが
この問題を解くポイントだったとは、思いつきもしませんでした。

説明も、とても分かりやすいものでした。
ありがとうございました。