微積 証明

質問

Ｒ→実数、Ｑ→有理数です。
連続関数f:Ｒ→Ｒ,g:Ｒ→Ｒが、任意のp∈Ｑに対してf(p)=g(p)をみたすならば、f=gであることを証明せよ。

まず「f:Ｒ→Ｒ」という表記の意味が分かりません。

証明する命題が正しいことは感覚的にはなんとなくわかる気がするんですが、それを文章で表せといわれるとできません。

どなたか解答と解説のほうお願いできませんか？？

回答No.2

settheory · ベストアンサー

「任意の実数rに対し、rに収束する有理数列が存在する」ということを示せばよいと思います。（有理数列とは、どの項も有理数な数列のことです。）これがあれば直接証明できます。

ｆが連続のとき、（任意の）収束する数列　a_n に対し、
Limｆ(a_n)=f(Lim a_n) が成立したと思います。　（a_nをそれぞれfで写すことによってできる数列の極限は、a_nの極限のところのｆの値に一致ということ。色々記号を省略してますがご勘弁を）

二つの関数が等しいというのは、定義域のどの要素に対しても、そこでの値が一致するということ。ここでは、任意の実数rに対し、f(r)=g(r)となることを示せば良いということになります。
rに収束する有理数列 a_n をとります。即ち、Lim a_n =r かつ、任意の自然数nについて、a_n　は有理数。先の議論より
ｆ(r)=f(Lim a_n)=Lim f(a_n) 　　　　　
=Lim g(a_n) 　　(有理数についてはfとgは同じ値)
=g(Lim a_n) 　　(gが連続より)
=g(r)
二段目のところは、各項が同じなので、その極限も一致するということです。（全く同じ数列になるから）

なので、問題なのは一番最初に書いたことをどう証明するか、です。（連続関数のところの主張もですが）多分、有理数全体が稠密になっていることと同値だと思います。これは実数をどのように定義しているかによると思います。授業などでこういったことがすでに証明されているのなら、遠慮なく使っても良いと思いますが。

お礼

settheoryさん、ありがとうございました。
有理数の稠密性についてはちゃんと習っています。
受験のときもそうでしたけど問題文の読み替えですかね。

rabbit_catの背理法でも考えて大学数学のキャパを広げていきたいです。

回答No.1

rabbit_cat

「f:Ｒ→Ｒ」という表記
これは、ｆは実数全体を実数全体に写す関数という意味です。
つまり、定義域が(-∞,∞)、値域も(-∞,∞)ということです。
あれ、もしかしたら、値域は(-∞,∞)じゃなくて、その部分集合でもいいのかもしれません。。

問題の証明は、実数の連続性とか、連続関数というのをどう習ったかによりますが、
多分、簡単に証明には、背理法で証明するんですかね。
f≠g となるような実数があったとして、関数の連続性と、有理数の稠密性から、「任意のp∈Ｑに対してf(p)=g(p)」と矛盾する、ていうのを言えばいいのでは。

お礼

お返事ありがとうございます。
なるほど背理法ですか。
関数の連続性と有理数の稠密性がからむのはわかるんですが、
どれをどう使って表せばいいのかわからないんです(汗