任意の2つの有理数間,実数間それぞれにかならず無理数が存在する?

質問

任意の2つの有理数p,q(p<q)間に必ずp<r<qなる有理数rが採れる事は
r=(p+q)/2と採ればいい事はわかったのですが

任意の2つの有理数p,q(p<q)間に必ずp<r<qなる無理数rが採れる事、
そして、
任意の2つの実数p,q(p<q)間に必ずp<r<qなる無理数rが採れる事、
はそれぞれrをどういう風に採れますでしょうか?

回答No.8

ka1234

こんにちは。

＞任意の2つの有理数間,実数間それぞれにかならず無理数が存在する?

次のような証明があります。　→　下の [結論] です。

[命題1]　任意の実数 c, d (c＜d) に対して、c＜r＜d　となる有理数 r が存在する。

[証明]　アルキメデスの原理により、n(d-c)＞1　　　　　　・・・[1]
となる正の整数 n が存在する。
（d-c がどんなに小さくても、大きな n をかければ 1 より大きく出来ると
いうことです）

実数 nc に対して、m≦nc＜m+1 となる m が存在する。すなわち、nc≧m・・・[2]

[1][2]より、nd=nc+n(d-c)＞m+1

ゆえに、m≦nc＜m+1＜nd となるので、c＜(m+1)/n＜d

r=(m+1)/n とおけば r は有理数であるから題意は示された。（証明終わり）

[命題2]　任意の実数 a, b (a＜b) に対して、a＜r＜b　となる無理数 r が存在する。

[証明]　無理数 α を用意する。[命題1] より、
a＜b の時、a-α＜s＜b-α を満たす有理数 s が存在する。

ゆえに、a＜s+α＜b　となる。s は有理数、αは無理数であるから、
s+α は無理数である（※）。従って題意は示された。（証明終わり）

※は証明する必要がありません。αは固定してよいので、
例えば、α＝√2 としてもよいからです。

[結論]　[命題2] において、a, b を有理数にとるか実数にとるかで証明は
完了します。

＞それぞれrをどういう風に採れますでしょうか?

p, q を使うと、それぞれ、
r=([np]+1)/n,　　　r=([n(p-√2)]+1)/n +√2 ととればよいという事になります。
ここで、n は具体化できないように思います。では。

回答No.7

Tacosan

実数 p, q (p < q) に対して ε = q - p, N = 2 ceiling(1/ε) とする.
ここで α = ceiling(qN) とおくと, (α-1)/N は p より大で q より小な有理数.
証明:
N ≧ 2/ε より ε ≧ 2/N.
今 α = ceiling(qN) とおいたので α-1 < qN ≦ α. N で割ると
(α-1)/N < q ≦ α/N.
ここで (α-1)/N = α/N - 1/N > α/N - 2/N ≧ q - ε = p だから
p < (α-1)/N < q. (Q.E.D.)
実際には N > ceiling(1/ε) であれば OK.

回答No.6

abyss-sym

ANo.3です。

ｎ－１≦(Ｍ－ｐ)/(ｑ－ｐ)＜ｎ
これ全体に(ｑ－ｐ)をかけます。
(ｎ－１)(ｑ－ｐ)≦Ｍ－ｐ＜ｎ(ｑ－ｐ)
さらに、全体から(ｎ－１)(ｑ－ｐ)を引くと
０≦Ｍ－ｐ－(ｎ－１)(ｑ－ｐ)＜ｑ－ｐ
全体にｐを足して
ｐ≦Ｍ－(ｎ－１)(ｑ－ｐ)＜ｑ となります。

お礼

納得です。
どうも有り難うございます。

"任意の2つの実数p,q(p<q)間に必ずp<r<qなる無理数rが採れる事"
が言えれば
"任意の2つの実数p,q(p<q)間に必ずp<r<qなる無理数rが採れる事"
は自動的に言えますね。

"任意の2つの実数p,q(p<q)間に必ずp<r<qなる無理数rが採れる事"
は
a:無理数,b:有理数⇒∃r:有理数;a<r<b
a:有理数,b:無理数⇒∃r:有理数;a<r<b
a:無理数,b:無理数⇒∃r:有理数;a<r<b
が言えれば
「このとき、ａ＜ｐ＜ｑ＜ｂとなる有理数ｐ、ｑが存在する。…」
を使って、証明できますよね。
a:無理数,b:有理数⇒∃r:有理数;a<r<b
a:有理数,b:無理数⇒∃r:有理数;a<r<b
a:無理数,b:無理数⇒∃r:有理数;a<r<b
はどのようにして導けますでしょうか?

回答No.5

noname#47975

p < r < qより、

0 < r-p < q - p
0 < 10^p(r-p) < 10^n(q-p)　

lim[n→∞] 10^n(q-p) = ∞より、
10^n(q-p) > 1となるようなnが必ず存在し、そのようなnの値をmと
おくと、0 < 10^m(r-p) , 1 < 10^m(q-p)
となるが、0 < 10^m(r-p) < 1
となるような題意を満たすrが存在するかを考える事も出来ます。

10^m(r-p) = k (0 <　k < 1を満たす任意の実数）とすると、
r = k(10^(-m)) + p
pが無理数の時、kは有理数の値（例えばk=1/2など)を適当に取り、
pが有理数の時、kは無理数の値(例えばk=1/√2など)を適当に取れば
rは題意を満たす解となります。

回答No.4

Tacosan

任意の実数 x, y (y ≠ 0) に対して
x + y/2, x + y/√2 が有理数だとすると, その差である
y(1/2 - 1/√2)
も有理数でないといけません. だから,
x + y/2 + y(1/2 - 1/√2)/√2 = x + y/(2√2)
は無理数のはず.

回答No.3

abyss-sym

証明例
ａ、ｂを有理数、ａ＜Ｘ＜ｂとし、Ｘはすべて有理数と仮定する。
このとき、ａ＜ｐ＜ｑ＜ｂとなる有理数ｐ、ｑが存在する。
また、任意の無理数Ｍに対して、ｎ－１≦(Ｍ－ｐ)/(ｑ－ｐ)＜ｎを満たす整数ｎが存在する。
これを式変形をすると、ｐ≦Ｍ－(ｑ－ｐ)(ｎ－１)＜ｑ　が得られる。

Ｘはすべて有理数と仮定したので、Ｍ－(ｑ－ｐ)(ｎ－１)は有理数である。
したがって、Ｍが有理数となり、これは矛盾する。よって、必ず無理数を含む。

あんまり自信はないですが、こんな感じで。

お礼

ご説明有難うございます。

> 証明例
> ａ、ｂを有理数、ａ＜Ｘ＜ｂとし、Ｘはすべて有理数と仮定する。
> このとき、ａ＜ｐ＜ｑ＜ｂとなる有理数ｐ、ｑが存在する。
> また、任意の無理数Ｍに対して、ｎ－１≦(Ｍ－ｐ)/(ｑ－ｐ)＜ｎを満たす整数ｎが
> 存在する。

ここまで納得です。

> これを式変形をすると、ｐ≦Ｍ－(ｑ－ｐ)(ｎ－１)＜ｑ　が得られる。

ｐ≦Ｍ－(ｑ－ｐ)(ｎ－１)である事は
ｎ－１≦(Ｍ－ｐ)/(ｑ－ｐ)から
(n-1)(q-p)≦M-p
(n-1)(q-p)-M≦-p
p≦M-(n-1)(q-p)
と導けますね。

Ｍ－(ｑ－ｐ)(ｎ－１)＜ｑである事は
(Ｍ－ｐ)/(ｑ－ｐ)＜ｎから
M-p<n(q-p)で
ここからどうすれば
Ｍ－(ｑ－ｐ)(ｎ－１)＜ｑに辿り着けますでしょうか?

回答No.2

fronteye

r=√((p^2+q^2)/2)

自信なし。

回答No.1

koko_u_

0に収束する無理数列を考えて下さい。例えば √2 * (1/2)^n