写像の連続性についての問題です。

質問

写像の連続性についての問題です。

次の写像が連続かどうか判断し理由も述べよ

f:Q→R,

f(x)=0(if x＜2^1/2)
1(if x≧2^1/2)

Q:有理数
R:実数

有理数から実数への写像です。問題なのはfの値が0から1になる境目が
2^1/2であるという事です。
わかるかたいましたらよろしくお願いいたします。<(_ _)>

回答No.3

muturajcp · ベストアンサー

(f:Q→R,連続)←def→(∀V開⊂R→f^{-1}(V)開⊂Q)

∀V開⊂Rとする
a∈f^{-1}(V)とすると
a∈Q　だから
a≠√2
|a-√2|>0
U={x∈Q| |x-a|<|a-√2|}開⊂Q
x∈U　とすると
a-|a-√2|<x<a+|a-√2|
a>√2のときf(a)=1∈Vで、x>√2だからf(x)=1∈V→x∈f^{-1}(V)
a<√2のときf(a)=0∈Vで、x<√2だからf(x)=0∈V→x∈f^{-1}(V)
→U⊂f^{-1}(V)
→f^{-1}(V)開⊂Q
→fは連続

お礼

なるほど！
簡潔かつわかりやすい解答でした。
ありがとうございます

回答No.2

kabaokaba

「写像の連続の定義」と「Qの開集合の定義」に従えばいい．
「有理数の稠密性」も当然関係する

例：
g(x):Q->R
g(x) = 0 (x<0.5)
g(x) = 1 (x>=0.5)

1のRにおける十分小さい開集合Uをとると
g^{-1}(U) = { 0.5以上の有理数 }
0.5を含むRの任意の開集合Vに対して，
Vは0.5未満の有理数を含むので
g^{-1}(U)はQの開集合にはなりえない
よってgは連続ではない

さて，問題のfでは境界が2^{1/2}という無理数だというのがポイント．
結論としてはfは連続になるのだけども
どう証明します？
上の「例」がヒントです．
これは連続ではないことの証明だから例示すればよくてシンプルだけど，
問題は「連続」であることの証明だから
もうちょっと細かく書かないとだめです．

お礼

ご解答ありがとうございました<(_ _)>

回答No.1

funoe

連続。

理由）
どんなｘ∈Q　に対しても　小さいδを与えれば区間（ｘーδ、ｘ＋δ）に√２を含まないようにできるから。（具体的なδの与え方が問われているのかどうかは、問題のニュアンス次第）

その区間内で、ｆは定数関数なので連続なのはあきらか。

理由２）・・・これで許してもらえれば楽なんですが。
ｆに不連続点がないから。
ｆの定義から不連続点があればそれは√２だけだが、√２でｆは定義されておらずしたがって定義域内に不連続点がないから。

お礼

ご解答ありがとうございました<(_ _)>