2次不等式の問題です

質問

問題集に載っていた問題です。
解答を見ても理解できないため、解説をお願いします。

p,q,rを実数とし、2次関数f(x)=px^2+qx+rとする。
y=f(x)のグラフの頂点は(3,-8)である。
このとき、
q=-6p, r=9p-8
である。

すべての実数xに対してf(x)<0となるとき、q,rは
q>[ア]，r<[イウ]を満たす。

解答は、ア:0, イウ:-8となっていますが、解く過程がわかりません。

初めての質問のため至らない点があるかもしれませんが、よろしくお願いします。

回答No.2

Har-mo-nize · ベストアンサー

y=f(x)のグラフの頂点は(3,-8)でx軸より下にありますから、すべての実数xに対してf(x)<0となるのは、p<0が必要十分です。
q=-6p, r=9p-8から、p<0でq,rの動く範囲を考えれば答えが求められます。
p<0 ⇔ -6p>0 ∴q>0
p<0 ⇔ 9p<0 ⇔ 9p-8<-8 ∴r<-8

回答No.5

ferien

2次関数f(x)=px^2+qx+r で、

>y=f(x)のグラフの頂点は(3,-8)である。
だから、ｆ（ｘ）＝ｐ（ｘ－３）＾2－８として、式変形すると

ｆ（ｘ）＝ｐｘ＾2－６ｐｘ＋９ｐ－８

元の式と比べると、q=-6p, r=9p-8　の関係が出てきます。

>すべての実数xに対してf(x)<0となるとき

なので判別式Ｄ＜０となればいいと言うことで、Ｄ＝（－６ｐ）＾2－４×ｐ×（９ｐ－８）

これから３２ｐ＜０→ｐ＜０　となります。q=-6p　からＰ＝－ｑ／６＜０、よってｑ＞０.

r=9p-8　から　９Ｐ＝ｒ＋８　ｐ＜０だから９ｐ＜０より　ｒ＋８＜０　よってｒ＜－８

回答No.4

Willyt

まず、頂点が（３，－８）ですから

9p^2+3q+r=-8
6p+3=0 (y'=2px+q)

が成り立ちます。ｙがすべて負ということはグラフがｘ軸を横切らないということですから

D=q^2-4pr＜0

ですね。　上の二式を使ってこの式からｐとｒを消去すればｑに関する不等式ができ、ｐとｑを消去すればｒに関する不等式ができます。さあ頑張って計算にとりかかってください(^_^)

回答No.3

pasocom

なんか変な問題ですね。ですが、とりあえず解いてみましょう。
二次関数のグラフは放物線になる、これは知ってますか？。
次にその放物線は「x^2」の係数が正であれば下に凸、負であれば上に凸、となることはいかがでしょうか。
さらに、放物線の頂点座標（a,b)が示されている場合、には方程式は、
f(x)=p(x-a)^2+b
と変形できることはご存じですか。
上の式を見るとx=aのときにf(x)が最小値（または最大値）になることはだいたいわかるかと思います。p（x^2の係数）が正ならば最小値、負ならば最大値になりますね。

さて、ここまで理解（復習？）できたら、問題に帰ってみましょう。
f(x)=px^2+qx+r・・・(1)式
を頂点座標を使って変形すれば、
f(x)=px^2+qx+r=p(x-3)^2-8
となるはずです。
右辺を展開すると
f(x)=px^2-6px+(9p-8)　・・・(2)式
と整理できます。
(1)式と(2)式を比べると
・q=-6p
・r=9p-8　・・・・あわせて(3)式
であることがわかります。
しかし問題文にこの「種明かし」が出ているのだから不思議・・・・。一体何をさせようとしているのか？。
問題文を読み進めましょう。
「すべての実数xに対してf(x)<0となる・・・」ということはf(x)のグラフは上に凸だというのと同じです。もし下向きに凸だったら、絶対どこかでf(x)>0 になるところがでてきますから。
「f(x)のグラフは上に凸」というのは上で確認したように「係数pが負である」ということです。式で書けば、p<0　ですね。
問題文からわかる条件はただこれだけです。後は何も提示していないのです。
従って、p<0 を(3)式に入れてみれば、
・q<0
・r<-8
となるのです。
念のため、グラフの概念図を添えておきます。

回答No.1

asuncion

平方完成
判別式の正負

このあたりについて調べてみてはいかがでしょうか。