数学得意な方に質問です

質問

f(x)をRを定義域とする関数で、任意の有理数x.yに対し
f(x+y)=f(x)＋f(y)を満たすもので以下のことを示せ
(1)任意の有理数xに対し f(x)=f(1)x
(2) fをさらに連続な関数とすると、
全ての
実数xに対しf(x)=f(1)x

これの解き方を押してください

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

細かい所は自分で確かめて下さい。丸投げもよくないので

(1)
a. 先ず f(0) = 0を確認せよ
b. 帰納法により、非負整数 nと有理数 x に対し、 f(nx) = n f(x)であることを示せ
c. 有理数xに対し f(-x) = -f(x)であることを示せ。
a. b. cにより、任意の 整数 n と有理数 x に対し f(nx) = nf(x)であることが分かる。
d. 整数m、0でない整数nに対し、 f(m) = f( (m/n) * n)と変形して、 f(m/n) = (m/n) f(1)であることを示せ。

(2) 実数xに対し、xに収束する有理数列を考えよ。