電気の計算

質問

下記の交流電圧の式について指導願います。

V=4√2×ϵ^j(ωt-53.1°) ×20/j
より
V=4√2×ϵ^j(ωt-53.1°) ×(-j×20)
V=4√2×ϵ^j(ωt-53.1°) ×(-√(-1)×20)
となりますが、この先の計算は、
4√2と-√(-1)×20は掛算して、
V=80×2ϵ^j(ωt-53.1°)
V=160×ϵ^j(ωt-53.1°)
としていいのですか？

お願いします。

回答No.3

noname#137826

> θ=3π/2 を持ちだす以外はわかりました。

#2で説明をしてあるのですが、説明してあるということすら認識できないほど説明が悪かったでしょうか？あるいは、その説明の存在は認識したのだが、それが理解できなかったということであれば、どの部分がどんな風に理解できなかったのかを説明していただけると、より適切な回答ができると思います。

さて、θ=3π/2について。(#2で説明したつもりでいたのですが、もう少し噛み砕いてみます。)

θ=3π/2 がどこから出てくるかという問いに対する最も直接的な答えは、3π/2は-jの偏角である、というものです。

-j = exp(3πj/2 )　[A]

ですね。

では、なぜ偏角を持ち出す必要があるのか？

以下の2式を比べてみてください。

V = -j80sqrt(2)exp{j(ωt-53.1°)}　[B]

V = 80sqrt(2)exp{j(ωt+216.9°)}　[C]

[B] に [A] を代入して計算すると [C] が得られるので、数学的には [B] と [C] は等価です。しかし、物理的には [C] の方が何を意味するのか見通しが圧倒的に良くなっています。振幅 80sqrt(2), 角振動数 ω, 初期位相 216.9°の振動です。一方、[B]は最初に -j があるので式の意味がいまひとつはっきりしません。

つまり、式[B]を得た地点で、より物理的な意味のわかりやすい式を得ようと思ったら、式[C]まで変形する必要があります。
そのためには j を sqrt(-1)という象徴的な記号ではなく、絶対値と偏角を顕にした形式で表示した式[A]を使う必要があります。するとθ=3π/2 が出てきます。

> 最後に「j をかけるというのは、ルートの中を -1 であるとして実数計算することではなく、波の位相をπ/2 だけずらすことである」とのことですが、π/2だけずれるのであれば、3π/2ではなく途中で述べられてるようにπ/2でいいのではないのでしょうか？

符号に注意してください。式変形の途中で用いるのは θ=3π/2 または θ=-π/2 です。これは -j が式に現れることに対応しています。(-j の偏角。) 最後のまとめの記述の中で用いられているのは j です。この場合偏角は π/2 です。

> この問題でのインピーダンスは抵抗とコンデンサなので進み位相なんですか？

回路を見ていないので答えようがありません。回路の方程式を立てて、それを解けばわかる、としか言いようがありません。

お礼

大変解りやすい回答ありがとうございます。
やっと理解できました。

回答No.2

noname#137826

三相交流は全く関係ありません。
ご質問は物理というよりは複素数の計算のお話です。

ですから、最初の回答の中の

「虚数単位はsqrt(-1)と書かれることがありますが、それは2乗して-1になることを表しているだけで、ルートの中が -1 であるとして実数と同じように計算していいということを意味しません。」

をご理解いただけたかどうかが最も重要なところになります。
いかがですか？ご理解いただけましたか？
(もっとも、ここでは、そういうものであるという理解以上のものは難しいでしょうが...）

# 回答する側としては、わかったのであればわかったという反応があると嬉しいものですし、
# 逆にどこがわからないのかということも同時にはっきりします。

次に、追加のご質問は、θ=3π/2 を持ち出したのはなぜか？ということですね？
オイラーの式にθ=3π/2を代入すれば、

-j = exp(3πj/2)

となります。(#1の回答に書いたとおりです。)

# これはθ=-π/2 としても構いません。いずれにせよ、
# -j = exp(-πj/2)
# です。

これにより、ご質問中にある式の中で係数としてかかっている -j を exp の中に入れることができるようになり、

V = 80sqrt(2)exp{j(ωt-53.1°+3π/2)} = 80sqrt(2)exp{j(ωt+216.9°)}

となります。最終的に得られた数式は、係数として -j がかかっているよりも、物理的な意味合いがはっきりしていますね。

まとめると、

「j をかけるというのは、ルートの中を -1 であるとして実数計算することではなく、波の位相をπ/2 だけずらすことである」

となります。

お礼

再度の回答ありがとうございます。

θ=3π/2 を持ちだす以外はわかりました。
ここで再度疑問があります。最後に「j をかけるというのは、ルートの中を -1 であるとして実数計算することではなく、波の位相をπ/2 だけずらすことである」とのことですが、π/2だけずれるのであれば、
3π/2ではなく途中で述べられてるようにπ/2でいいのではないのでしょうか？
3π/2とπ/2では位相の角度が違うのですが、進み位相か遅れ位相の違いでしょうか？この問題でのインピーダンスは抵抗とコンデンサなので進み位相なんですか？

回答頂ければ嬉しいです。

回答No.1

noname#137826

いけません。

虚数単位はsqrt(-1)と書かれることがありますが、それは2乗して-1になることを表しているだけで、ルートの中が -1 であるとして実数と同じように計算していいということを意味しません。

正しい計算は

exp(jθ) = cosθ + jsinθ

に、θ=3π/2 を代入して

-j = exp(3πj/2)

であることを用いて、

V = 4sqrt(2)exp{j(ωt-53.1°)}×(-j×20)

より

V = 80sqrt(2)exp{j(ωt-53.1°+3π/2)}

です。

お礼

疑問があります。
θ=3π/2という数字はどこから来たのでしょうか？
この式は三相交流の問題の式ではないのですが、三相交流としても
θ=2π/3 (120°)ではないのでしょうか？