正五角形について

質問

どんな５つの格子点をとっても正五角形にならないことを証明したいのですが全く分かりません
考え方もさっぱりなのですが
よろしければ教えてください

回答No.2

rabbit_cat · ベストアンサー

もし、格子点で正五角形ができると仮定します。
すると、適当に平行移動すれば、１つの頂点は原点だと思ってもよいですね。
で、原点の両隣の頂点をA(x1,y1)，B(x2,y2)とします。（x1,y1,x2,y2は整数）
正五角形ですから、
OA = OB
∠AOB = 3π/5
が成り立ちます。つまり、
x1^2+y1^2 = x2^2+y2^2 = r^2　（r^2は整数）
cos(∠AOB) = x1/r*x1/r + y1/r*y2/r = (x1*x2*y1*y2)/r^2 = cos(3π/5)　（cosの加法定理）
が成り立つはずです。
で、r^2は整数ですから、(x1*x2+y1*y2)/r^2 は有理数なはずなんですが、cos(3π/5) は有理数じゃないので、矛盾。

cos(3π/5)=-cos(2π/5) が有理数じゃないのは、例えば、
cos(2*3π/5) = cos(3*2π/5) から、
適当に、２倍角、３倍角の公式を使えば。

回答No.3

htms42

「格子点」とはどんなものでしょうか。

＃１、＃２のご回答は「格子点とは何か」が分かっているものとしておられます。でもやはり定義してから使う言葉だと思います。

「格子とは点が～のように配置している状態である」と自分流でいいですから定義してみてください。回答の分かりやすさが違ってくると思います。

固体物理の教科書には５回対称の結晶は存在しないというのが出てきます。正５角形を基本とする図形では空間を埋め尽くすことが出来ないという説明です。
ところがＸ線回折のパターンで５回対称を示す例が報告されて話題になりました。２０年ほど前のことです。
現在では「準結晶」として教科書にも載っています。
キッテルの教科書にはペンローズの２次元タイル模様が載っています。
図は２種類のひし形のタイル、３６°、１４４°のものと７２°、１０８°のものを組み合わせています。
説明文の中に「長距離にわたる配向秩序と長距離にわたる周期的でない秩序が示されている」と書かれています。

回答No.1

owata-www

格子点間の距離の平方は整数値になります、これと正五角形の各点間の距離から出せば証明できるでしょう