正五角形の・・・

質問

ｃｏｓ２π/５={(√５)－１}/４を使って
正五角形がコンパスと定規で作図できる理由を述べよ。。
という問題なんですけど、書き方などはいろいろとＨＰに
載っているんですけど、
理由は全然見当たらないんです・・・。。
上の式の導き方はもう先生が出してしまったので
使えません(>_<)
言葉で説明するにはどんな風に書いたらいいんでしょうか？？
お願いします。。

回答No.3

hemulen · ベストアンサー

問題の主旨が式を利用して正五角形をかける理由だと
すると、何故この式を使うと書けるのか答えればよい
と思います。

コサインシータのシータは角度です。
この角度をコンパスと定規だけで作れるかというとこ
ろが聞きたいことだと思われます。

コサインというのは底辺が１で高さがｘの直角三角形
の角度です。（シータが９０度までのとき）

それゆえに、
問題で与えられた式の右辺の長さが作図できれば、左
辺の値の角度シータを作ることができます。この角度
が作れれば、後は簡単に正五角形をつくることができ
ます。

さらに別の例で逆の説明をすると、
１が与えられれば、コサイン４５度が１なので、底辺
１、高さ１の直角三角形の角度は４５度であると逆に
言うことができます。

回答No.2

noname#24477

１という長さが与えられたら、√２という長さがコンパス
と定規だけで作れますね。（直角三角形を描けばよい）

√２が求まれば、１と√２から√３が作れます。
以下同様にして√５まで作れます。

（実はこんな手間をかけなくても１と２から√５は作れる）

ということは√５－１も作れます。
これを４等分することも簡単です。（２等分の２等分）

{(√５)－１}/４　という長さは、１が与えられたら定規と
コンパスで作れるわけです。

さて原点を中心に半径１の円を描いたとき、
ｘ軸上に１つの頂点をとります。
ｃｏｓ２π/５
は内接する正五角形の次の頂点のｘ座標です。
ｘ軸上にそれが作図できるのなら、垂線を立てて円と交わる
ところが頂点です。頂点が２つわかれば後はＯＫですね。

回答No.1

kony0

よくあるのは、
1. １辺ABを書き、
2. ABの垂直二等分線を書き、
3. 交点Hから、ABと等距離にある点Pをとり、
4. APの延長上にPQ=AHとなる点Qをとり、
5. Aを中心、AQを半径とする円弧とHPの延長との交点をDとする
方法ですよね。

あとは、三平方の定理とか使って考えてみてください。ヒントは1:2:√5。

お礼

そうなんですよ！！
その書き方はどこのＨＰにいってもある。。
ってぐらい載ってたんです。。
ありがとうございました。。