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正五角形の作図と証明
正五角形の作図ですが、いまいち解りません。宜しければ、回答ください。また、出来れば、その作図が成り立つ証明も教えてください。参考ＵＲＬも添付してくれれば、嬉しいです。
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正五角形の作図は、円分方程式 x^5=1 …(1) を解くことに帰着します。(1)は、 (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0 ∴ x=1, x^4+x^3+x^2+x+1=0 ∴ x=1, x^2+x+1/x+1/x^2+1=0 …(2) と同値です。 t=x+1/x とおけば、 t^2=x^2+1/x^2+2 ∴ x^2+1/x^2=t^2-2. …(3) (3)を(2)に代入すれば、 t^2+t-1=0 ∴ t=(-1±√5)/2. ここで、 t=(-1+√5)/2 なら、 x+1/x=(-1+√5)/2 ∴ x^2-{(-1+√5)/2}x+1=0 ∴ x=(1-√5)/4±√(10+2√5)i/4. …(4) また、 t=(-1-√5)/2 なら、 x+1/x=(-1-√5)/2 ∴ x^2+{(1+√5)/2}x+1=0 ∴ x=(-1-√5)/4±√(10-2√5)i/4. …(5) したがって、(4),(5)の四つの数と x=1 が、正五角形の頂点の座標になります。すなわち、単位円を書き、直線 x=(-1+√5)/4 を作図すれば、 (1,0) と合わせて、二つの頂点を得ることができます。
お礼
どうも、ご丁寧にご回答有り難う御座いました。 半分ぐらい理解できたように思います。