正五角形と正六角形の関係

質問

立方体の中心点と六つの稜（でよいのでしょうか）を結んでできるでこぼこの六角形（３次元的正六角形？）を平らにして頂角を分度器で測ってみると正五角形と同じようになることがわかったのですが、これは有名なサッカーボールの五角形と六角形の関係と同じものなのでしょうか。図形に興味があるのですが、数学が苦手なので考え方を教えていただければ幸いです。

回答No.16

Tacosan · ベストアンサー

「つなぐ」だけでは「ボール」にならないのも自明じゃない?

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%87%E9%A0%82%E4%BA%8C%E5%8D%81%E9%9D%A2%E4%BD%93

お礼

参考ＵＲＬの説明にも、図形に空気を入れて・・・などとありますので、難しいと思いました。お付き合いいただいて感謝いたしております。

回答No.15

Tacosan

「平らな六角形と平らな五角形を全く曲げないで球ができる」わけがないじゃん.

お礼

元来平らである皮革を五角形と六角形に切り出しこれらをつないでボールを作るという意味でした。

回答No.14

Tacosan

「全体として球をなす」ってどういうこと?

お礼

立方体に関する疑問はおかげさまで自分も納得できました。分度器で計った値が似ているだけのことということでした。サッカーボールのほうは平らな六角形と平らな五角形を全く曲げないで球ができることが数学的に証明できるのかどうかということでした。

補足

正六角形と正五角形でサッカーボールという球が作られているという意味です。

回答No.13

stomachman

ANo.10へのコメントについてです。

> 何か共通の理由があるかどうか

ない。

お礼

わかりました。ある目的でこの箱を作ることが必要なので、念のために伺ったのですが、あくまで便宜的なものと考えます。ご親切な作図をいただきありがとうございました。

補足

サッカーボールはどこかにひずみが来ていないのでしょうか。正六角形２枚と正五角形１枚が集まってできている稜の部分は全体として球をなす場合に何もひずみがないのでしょうか。数学的にはどのように説明するのでしょうか。

回答No.12

Tacosan

はい.

参考URL：

https://www.google.co.jp/#q=acos%281%2F3%29

お礼

早速お返事いただき、ありがとうございました。よくわかりました。私の表現力と理解力の不足が原因でしたが、本来の質問の趣意を伝えられなくて残念というか申し訳ございませんでした。数学ができない工作好きの実際的疑問でした。初めの質問に対する御教示も頂ければと存じます。

回答No.11

Tacosan

それと #6 に書いたことはいったいどこが違うというんだろう. 「平らにつぶした６角形の頂角」が「二等辺三角形の底角 2個分の角度」に等しいことに気付かなかったのかなぁ?

ちなみに #10 に出てくる角度は #3 に書いた cos^-1 1/3.

お礼

気がつかなかったというより計算ができなかったのですが、こういう立体図形を作ることしかできなかったということでした。数学ができない人間の悲劇です。

補足

cos^-11/3という表記が理解できません、具体的な数値にしていただけますか。

回答No.10

stomachman

こゆことですかね？
図左：Gは立方体の重心。
図下：二等辺三角形（たとえば△GCD)の頂角θは約70.53°で、なるほど正五角形の72°に近い。
図右：「３次元的正六角形」（あるいは「ふた」）を線分XGで切り開いて平面に伸ばしたもの。正五角形に似てるけど違う。

お礼

ご教示ありがとうございま。おっしゃることでした。このこととサッカーボールの２枚の六角形と一枚の五角形が作る稜を平らにつぶすと頂角の和が３４８度になるので３６０度に近いことと何か共通の理由があるかどうかというのが初めの疑問でした。数学的には無意味な疑問かもしれません。

回答No.9

Tacosan

日本語が変&言葉が足りてなかったので #8 のさいしょの「蓋」についてちょっと補足.

六角形の頂点に時計まわりに A～F と名前を付ける. で, B と F を結ぶ線で山折り, C と E を結ぶ線で谷折りにすれば「蓋」にはなるし, これならふつうに「波打っている」といえる. でも, それではもとの質問文における「中心点」が全く意味をなさない.

一方, さらに六角形の中心を O として OA, OB, ..., OF の 6本の線に従い順に山折り/谷折りを繰り返しても「蓋」にはなる. ただ, 今度はこれを「波打っている」というかどうかが疑問.

「六角形のふた」というのは, このうちのいずれかの形ですか? それとも, どちらでもないまた別の形状ですか? 後者 (また別の形状) だとしたら, 私にはどのような形なのか全く想像できないので絵を見せてください.

#8 後段については「わからない」のまま. 「頂角」からしてなんのことやらわからんのだから.

お礼

ご親切に指導いただき恐縮いたしております。補足欄にご指摘の点について私のかんがえていることを書いてみたのでよろしくお願いいたします。

補足

おっしゃるところの後者を考えていました。波打つではなくジグザグのほうがよかったです。このでこぼこの６角形を薄い紙で作ったとするとでこぼこしていますが、たとえばＯＡにハサミで切れ目を入れて平ら（２次元でよろしいですか？）につぶすことができます。この平らにつぶした６角形の頂角が７２度だったということです。お分かりいただけたでしょうか。

回答No.8

Tacosan

何をいっているのかわからない.

まず「六角形のふた」がどのようなものなのかがわからない. #4 右図のに対して頂点を通るように山折り/谷折りすれば「波打った」形になる. でも, そのような形をもとの質問文の「中心点と六つの稜（でよいのでしょうか）を結んでできるでこぼこの六角形」から読み取ることは不可能だ (「中心点」が無意味になるから). いったいどんな「蓋」を想定すればいいの?

さらに「このふたの頂角の一つをはさんで適当な大きさに切り取った部分を平らにしたときの頂角が分度器で計ると７２度になっていた」もさっぱりわからない. 「このふた」の形が理解できないのだからわかるはずはありえないのだが, 例えば「頂角」がどこかわからんし「平らにする」という操作も何をしているのかわからない. さらに「平らにしたときの頂角」もどこかわからん.

お礼

すみません。Ｎｏ９の補足欄の数値を間違えました。分度器で得られた数値は７２度ではなく正五角形の頂角、１０８度でした。ＮＯ９の補足欄を送ってから気がつきました。

回答No.7

Tacosan

「二次元的に張り合わせたもの」の「もの」とか「箱の一部になっていて折れ曲がっている（３次元的な）もの」の「もの」って, なんですか? そして, その「角度」ってなんですか?

お礼

ご迷惑をおかけいたします。補足欄に書かせていただきました。

補足

問題としている立方体を薄い紙で作ってみることにします。これを六角形のふたをした容器と考えます（汗！）この六角形のふたは平面的でなく波打っています（これを３次元的と書きました）。このふたの頂角の一つをはさんで適当な大きさに切り取った部分を平らにしたときの頂角が分度器で計ると７２度になっていたということです。

回答No.6

Tacosan

うん, やはり億劫がらずに絵を描くべきだった. #4 の図を見たらほぼ瞬殺だった....

「立方体の中心点」というのを「立方体の重心」のことだと思うと, 「中心」と #4 右図の周囲の赤線上にある 6個の頂点を結ぶことで 6個の二等辺三角形が得られる. その二等辺三角形の底角 2個分の角度を求めると....

うん, 正五角形とは無関係だ.

補足

おっしゃるところの二等辺三角形を二次元的に張り合わせたものと箱の一部になっていて折れ曲がっている（３次元的な）ものの角度は異なりますが、この辺を勉強してみます。