正五角形の謎

質問

ｘｙ平面上で5個の格子点を結んで正五角形を作ることはできないことを証明したいのですがどうすればいいか分かりません。ベクトルを使えば簡単に解けるらしいのですが・・・。どなたか分かる方がいれば願いします。

回答No.4

mis_take

正五角形ＡＢＣＤＥの辺ＡＢと対角線ＤＣは平行で，長さの比 ＤＣ/ＡＢ が黄金比 (1+√5)/2 で無理数です。
ＡＢ，ＣＤが平行なので，格子点なら ＤＣ/ＡＢ は有理数でなければなりません。
縦，横が整数の相似な長方形の対角線ですから。

回答No.3

nag0720

cos72°の求め方

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5357445.html

回答No.2

Tacosan

cos 72° は x^4+x^3+x^2+x+1=0 の解の実部 (の大きい方).
この 4次方程式を解く.

回答No.1

nag0720

5個の格子点を順にP1=(x1,y1),P2=(x2,y2),・・・,P5=(x5,y5)とし、P2からP1へのベクトルをa、P2からP3へのベクトルをbとすると、
a=(x1-x2,y1-y2)
b=(x3-x2,y3-y2)
cos108°=a・b/(|a||b|)=((x1-x2)(x3-x2)+(y1-y2)(y3-y2))/(|a||b|)
|a|=|b|なので、これは有理数になります。

cos108°は有理数？

補足

無理数だと思いますが証明の仕方がわかりません