シムソンの定理の証明
シムソンの定理の証明
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http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/ptolemaios/simson.htm
の作成者に質問したかったのですが適当な所がみつからなかったのでここで質問します。
シムソンの定理
△ABCの外接円周上の点Pから
BC、CA、AB に下ろした垂線の足を D、E、F とする。
このとき、3点 D、E、F は1直線上にある。
この直線のことを、シムソン線という。
(証明)4点 P、F、A、E は、同一円周上にあるので、∠PFE＝∠PAE
…
と左図と一緒に書かれていましたが、
左図では確かに ∠PFE＝∠PAE ですが
右図では4点 P、F、A、が 、同一円周上にあるにもかかわらず
∠PFE≠∠PAE
となってしまい、この証明は誤りなのではないでしょうか?
シムソンの定理は、
「A,B,C,P,が同一円周上の点で D,E,F が P から BC,CA,AB への垂点」
という条件で P,A,B,C の位置に関係なく成立することを
証明しなければ、証明とはいえないのではないでしょうか?
以下の証明の方がよいのではないでしょうか?
△ABCの外接円周上の点Pから
BC、CA、AB に下ろした垂線の足を D、E、F とする。
外接円の中心に 0 を対応させ 点 P に 1 を対応させて
外接円を単位円とする座標をいれて
点 A,B,C,D,E,F のそれぞれの位置の複素数を
a,b,c,d,e,f とすると
|a|=|b|=|c|=1 となるから
2d=b+c-bc+1
2e=c+a-ca+1
2f=a+b-ab+1
x~=(xの共役複素数) とすると
4((e-d)(f~-d~)-(e~-d~)(f-d))
=((a~b-ab~)(|c|^2-1)+(b~c-bc~)(|a|^2-1)+(ac~-ca~)(|b|^2-1)
+a(|c|^2-|b|^2)+b(|a|^2-|c|^2)+c(|b|^2-|a|^2)
+a~(|b|^2-|c|^2)+b~(|c|^2-|a|^2)+c~(|a|^2-|b|^2))
|a|=|b|=|c|=1 だから
(e-d)(f~-d~)-(e~-d~)(f-d)=0
e-d と f-d の向きが等しいから
3点D,E,Fは1つの直線上にある
お礼
回答有難う御座いました。１２日に回答していただいてら１週間近く日にちが経ちましたが、この間回答のヒントから解くのに日時がかかったのです。私にとっては 、手荒な回答でしたが、受験勉強から５０年近くになりますが自分なりに頑張ったすもりです。正五角形は図形的にとても美しい形だとほれ込んでいます。√５－１は一生心に残る数です。 有難う御座いました。補足入力に私の作図と入力しておきます。
補足
正五角形の作図の証明の回答から自分なりの作図を入力します。添付ファイルを送信したいのですがわかりません。