正五角形 対角線

質問

相似を使った正五角形の対角線の長さはどうやって求めるのでしょうか

教えてください

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

#1です。
もっと簡単な求め方が下記サイトにありました。
http://okwave.jp/qa/q853175.html

補足

大体分かりました しかし
＞よく見れば四角形ABFEがひし形であることが分かります。
というのが分かりません よく見て直角だなと思って計算してみたら直角でなかったことはよくあります なぜひし形と言えるのでしょうか

回答No.10

yyssaa

何度もすみませんが、No.1でAG=x/2となるのはなぜでしょうか

＞△ABCはAB=BCの二等辺三角形です。その頂点B
から底辺ACに下ろした垂線の足がGですから、BGは
△ABGを二等分しており、△ABGと△BCGは同じ大きさの
直角三角形です。
従ってAG=GCすなわち2×AG=AG+GC=AC=xとなるので、
AG=x/2になります。

お礼

ありがとうございます No.1は全て分かりました

回答No.9

yyssaa

補足

ほとんど分かりましたが、ABとCFは平行、AEとBFも平行というのと辺BFと辺AEが等しいというのは何故なのでしょうか

＞平行四辺形ですから向き合う２辺、BFとAEの長さは等しくなります。

お礼

ありがとうございます

補足

何度もすみません これが最後になるはずです
＞FC=FD=φ-1 というのはなぜでしょうか

回答No.8

yyssaa

Hは外接円に接してないのに弧CHを考えられるのでしょうか
＞
∠CAH=∠CADです。

補足

分かりました
何度もすみませんが、No.1でAG=x/2となるのはなぜでしょうか

回答No.7

ferien

ANo.3です。　ANo.6の補足について

＞ABとCFは平行、AEとBFも平行
正五角形の外接円では、弧ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＥ，ＥＡの長さは５等分になっていて、その上の中心角は７２度なので、５つの弧の上の円周角はすべて３６度です。
弧ＥＡ上の円周角∠ＡＢＥ＝弧ＢＣ上の円周角∠ＢＥＣなので、錯角が等しいからＡＢ//ＣＦ
弧ＡＢ上の円周角∠ＡＥＢ＝弧ＤＥ上の円周角∠ＤＢＥなので、錯角が等しいからＡＥ//ＢＦ
よって、２組の対辺が平行だから、四角形ＡＢＦＥは平行四辺形で、隣り合った辺ＡＢ＝ＡＥであるから、四角形ＡＢＦＥはひし形になります。

お礼

分かりました 何度もありがとうございました

回答No.6

yyssaa

＞よく見れば四角形ABFEがひし形であることが分かります。
というのが分かりません よく見て直角だなと思って計算してみたら直角でなかったことはよくあります なぜひし形と言えるのでしょうか

＞http://okwave.jp/qa/q853175.html
のベストアンサーの符号で、
∠AEB、∠ABE、∠BEC、∠DBEは、
全て正五角形の辺の円周角で等しい
ので、ABとCFは平行、AEとBFも平行、
かつ長さが等しいのでひし形になります。

補足

ほとんど分かりましたが、ABとCFは平行、AEとBFも平行というのと辺BFと辺AEが等しいというのは何故なのでしょうか

回答No.5

yyssaa

△ABG∽△ACH、△CDH∽△AFD
これがなぜ言えるのでしょうか

＞△ABG∽△ACHについて
正五角形ABCDEの外接円を考えると、
∠BAGと∠CAHはそれぞれ辺BCと辺CDの
円周角になり、BC=CDなので∠BAG=∠CAH
になります。そして両三角形は共に直角三角形
なので、相似になります。

△CDH∽△AFDについて
∠CDAを共有する直角三角形なので、相似に
なります。

補足

＞正五角形ABCDEの外接円を考えると、∠BAGと∠CAHはそれぞれ辺BCと辺CDの
円周角になり

Hは外接円に接してないのに弧CHを考えられるのでしょうか

回答No.4

ferien

ANo.3です。正五角形の１辺の長さは１で考えました。

他の長さにしたいときは、

△ＡＢＥ相似△ＨＡＥ
よって、ＢＥ：ＡＥ＝ＡＢ：ＨＥより、
＞（１＋ｘ）：１＝１：ｘ

の１のところを、他の数字や文字で置き換えればいいと思います。

お礼

ありがとうございます
なお、数時間後に補足するかもしれないのでできたら答えて頂きたいです

回答No.3

ferien

＞＞よく見れば四角形ABFEがひし形であることが分かります。
こちらの説明の方が面倒なので、別の解き方で考えます。

正五角形の図を描いて、一番上の頂点から、反時計回りにＡＢＣＤＥとします。
対角線ＢＥ，ＡＣ，ＡＤを結びます。ＡＣ，ＡＤとＢＥとの交点をＧ，Ｈとします。
ここでは、対角線ＢＥの長さを求めます。
正五角形の性質から、頂角がすべて１０８度，辺がすべて１なので、
このことから、△ＡＢＥ≡△ＡＢＣ≡△ＡＥＤ（二辺とその挟む角が等しい）より、
合同な二等辺三角形です。だから、これらの底角はすべて、
（１８０－１０８）／２＝３６度　……（１）になります。
△ＨＡＥについて、上のことから、角ＨＡＥ＝角ＨＥＡ＝３６度　……（２）
また、△ＡＢＨで、
（１）より、角ＡＢＨ＝３６度，
（２）より、角ＢＡＨ＝１０８－角ＨＡＥ＝１０８－３６＝７２度　だから、
角ＢＨＡ＝１８０－（３６＋７２）＝７２度
よって、角ＢＡＨ＝角ＢＨＡより、△ＡＢＨは二等辺三角形
よって、ＢＨ＝ＢＡ＝１　……（３）
ＨＥ＝ｘとおきます。（３）より、ＢＥ＝ＢＨ＋ＨＥ＝１＋ｘ
△ＡＢＥと△ＨＡＥとで、
（１）（２）より、
角ＡＢＥ＝角ＨＡＥ＝３６度
角ＡＥＢ＝角ＨＥＡ＝３６度　で
２つの角が等しいから、
△ＡＢＥ相似△ＨＡＥ
よって、ＢＥ：ＡＥ＝ＡＢ：ＨＥより、
（１＋ｘ）：１＝１：ｘ
ｘ（１＋ｘ）＝１
ｘ^2＋ｘ－１＝０　を解いて、ｘ＞０より、ｘ＝（－１＋√５）／２
よって、ＢＥ＝１＋｛（－１＋√５）／２｝
　　　　　　＝（１＋√５）／２

＞＞よく見れば四角形ABFEがひし形であることが分かります。
対角線ＢＤとＣＥの交点をＦとすると、
上に書いた、△ＡＢＨと合同な三角形が、△ＢＣＦ，△ＥＤＦで、
（△ＡＢＨと同じ理由で３つ角の大きさが求められるので）
これらも二等辺三角形なので、ＢＦ＝ＢＣ＝１，ＥＦ＝ＥＤ＝１
正五角形であることから、ＡＢ＝ＡＥ＝１　なので、
ＡＢ＝ＡＥ＝ＢＦ＝ＥＦより、４つの辺は等しいので、
四角形ＡＢＦＥはひし形です。
（きちんと説明しようとすると結構大変です。）

回答No.1

yyssaa

正五角形ABCDE、AからCDに下ろした垂線の足をF、BからAC
に下ろした垂線の足をG、CからADに下ろした垂線の足をH
とすると、△ABG∽△ACH、△CDH∽△AFDより、
AB/AG=AC/AH=AC/(AD-DH)・・・(ア)
CD/DH=AD/DF・・・(イ)
見易くするため、正五角形ABCDEの一辺の長さをa、対角線
の長さをxとすると、
AB=CD=a,AG=x/2,AC=AD=x,DF=a/2
(ア)(イ)を書きかえると
a/(x/2)=x/(x-DH)　→　x^2=2a(x-DH)・・・(ア)'
a/DH=x/(a/2)　→　DH=a^2/(2x)・・・(イ)'
(イ)'を(ア)'に代入
x^2=2a{x-a^2/(2x)}
2x^3=2a(2x^2-a^2)
x^3=2ax^2-a^3
x^3-2ax^2+a^3=0
a=1とすると
x^3-2x^2+1=0
(x-1)(x^2-x-1)=0
x=1はあり得ないので(x^2-x-1)=0を解いて、
x={1±√(1+4)}/2=(1±√5)/2
x＞0よりx=(1+√5)/2を得る。
以上より一辺の長さがaの正五角形の対角線の長さxは
x=(1+√5)a/2・・・答え、となる。

補足

△ABG∽△ACH、△CDH∽△AFD
これがなぜ言えるのでしょうか