２次関数の問題がわかりません

質問

「(x-1)/2=(y-2)/3=z+1を満足するx,y,zについてx＾2+y＾2+z＾2の最小値，およびそのときのx,y,zの値を求めよ．」
という問題がわかりません
解）
(x-1)/2=z+1より
x-1=2z+2
x=2z+3
xz=z(2z+3)
(y-2)/3=z+1より
y-2=3z+3
y=3z+5
yz=z(3z+5)
またxy=6x＾2+19x+15
x＾2+y＾2+z＾2=(x+y+z)＾2-2xy-2yz-2zx
=(6z+8)＾2-2(xy+yz+zx)
=6＾2(z+4/3)＾2-2(6x＾2+19x+15+3z＾2+5z+2z＾2+3z)
=6＾2(z+4/3)＾2-2(11z＾2+27z+15)
このグラフの頂点は（-4/3,-2(11z＾2+27z+15)）かと思いました．
この場合の最小値は0<36より-2(11z＾2+27z+15)であり，
これにz=-4/3を代入すればいいのかと思いました．
しかし，答えにはx=0,y=1/2,z=-3/2,最小値=5/2とありました．
どこがどう間違っているのですか？

回答No.2

banakona · ベストアンサー

（きちんと追いかけていないけど）平方完成つかうなら・・・

　　6＾2(z+4/3)＾2－ｆ(z)

のｆ(z)の部分は、（ｆ(z)と書いておきながらナンだけど）ｚの関数ではいけません。具体的な最小値が欲しいなら定数だし、そうでなくてもｚに無関係の式である必要があります。

そうでないと、6＾2(z+4/3)＾2が最小になってもｆ(z)が最小にならない可能性があります。簡単な例では・・・

　　（ｚ－２）^2＋２ｚ　・・・（A)

は「ｚ＝２のとき、最小値２ｚ、つまり４」というのは間違いで、
（A)を展開・整理して
　　（ｚ－１）^2＋３　　・・・(B)

となるのでｚ＝１のとき、最小値３となります。

上記「」内が間違っていたのは、（ｚ－２）^2の値が変化するにつれて、ｆ(z)の部分、すなわち２ｚも変化してしまうからです。
この点、(B)のｆ(z)の部分は、３という定数なので（ｚ－１）^2が変化しても（当然ですが）３のままで、従って（ｚ－１）^2が最小となるときに(B)の全体が最小となるのです。

お礼

ありがとうございます．
最後の部分がzの関数になっているからだめなのですね．
最後の部分を展開してやり直してみます．
これからもよろしくお願いします．

回答No.1

mister_moonlight

単純な計算ミスだよ。
最後は、14（z＋3/2）＾2＋5/2　になるだろうから、もう一度やってみたら良い。

計算を簡単にしよう。

(x-1)/2＝(y-2)/3＝z+1＝kとすると、x＝2k＋1、y＝3k＋2、z＝k-1　‥‥(1)　であるから、x＾2+y＾2+z＾2＝（2k＋1）＾2＋（3k＋2）＾2＋（k-1）＾2＝14（k＋1/2）＾2＋5/2.
kは全ての実数値から、k＝-1/2　で最小。この時、最小値は　5/2で、(1)より　x＝0、y＝1/2、z＝-3/2.

お礼

ありがとうございます．
計算ミスであり，計算が途中までだからダメなのですね．
これからもよろしくお願いします．