数学の問題です。

質問

次の2題が分かりません。
1)xy-yz+zx=123(0<x、y、z<50)
を満足するx、y、zの組をすべて求めよ。
2)1()2()3()4()5()6()7()8()9=100
となるような組み合わせを求める。()には＋－×÷が入る。
できるだけ単純な方法でお願いします。

回答No.4

staratras · ベストアンサー

何とか効率的に求められないか考えましたが、結局しらみつぶしに近くなってしまいました。
xy-yz+zx=123(0<x、y、z<50) …(1)
x=z とすると(1)はz^2=x^2=123 となるがこれを満たす整数値はない。よってx≠zのときを考える。

1)を変形して　(x-z)(y+z)=123-z^2　…(2)
x＞zのとき　　(x-z)(y+z)=123-z^2＞0 よって0<z≦11
x<zのとき　　(z-x)(y+z)=z^2-123＞0 …（３）よって12≦z<50

(2)または(3)の右辺を素因数分解し、0<x、y、z<50 の範囲で上の分解が可能か調べる。
例えばZ=2のとき　123-z^2=119=7×17　なので　
(x-2)=7,(y+2)=17 のとき　x=9,y=15
(x-2)=17,(y+2)=7 のとき　x=19,y=5 となる。

z…右辺……素因数分解……(分解1)(分解2)(分解3)……(1の解)(2の解)(3の解)
2……119……7*17…………(7*17)(17*7)………………(9,15)(19,5)
3……114……2*3*19………(3*38)(6*19)(19*6)………(6,35)(9,16)(22,3)
5……98………2*7*7………(2*49)(7*14)(14*7)………(7,44)(12,9)(19,2)
6……87………3*29…………(3*29)………………………(9,23)
7……74………2*37…………(37*2)………………………(9,30)
9……42………2*3*7………(1*42)(2*21)(3*14)………(10,33)(11,12)(12,5)
10…23……素数………………(1*23)………………………(11,13)
12…21……3*7………………(1*21)………………………(11,9)
13…46……2*23……………(2*23)(1*46)………………(11,10)(12,33)
15…102……2*3*17………(2*51)(3*34)(6*17)………(13,36)(12,19)(9,2)
16…133……7*19…………(7*19)…………………………(9,3)
18…201……3*67…………(3*67)…………………………(15,49)
19…238……2*7*17………(34*7)…………………………(12,15)
21…318……2*3*53………(6*53)…………………………(15,32)
23…406……2*7……………(7*58)(14*29)………………(16,35)(9,6)
30…777……3*7*37………(21*37)………………………(9,7)
32…901……17*53…………(17*53)………………………(15,21)
33…966……2*3*7*23……(23*42)(21*46)(14*69)…(10,9)(12,13)(19,36)
35…1102……2*19*19……(19*58)(38*29)……………(6,3)(16,23)
36…1173……3*17*23……(23*51)(17*6)………………(13,15)(19,33)
41…1558……2*19*41……(19*82)………………………(22,41)
44…1813……7*7*37………(49*37)………………………(7,5)
49…2278……2*7*67………(34*67)………………………(15,18)
（対応するx、yが存在しないzは省略）

まとめると（x、y、z）は
(6,3,35)(6,35,3)
(7,5,44)(7,44,5)
(9,2,15)(9,15,2)(9,3,16)(9,16,3)(9,6,23)(9,23,6)(9,7,30)(9,30,7)
(10,9,33)(10,33,9)
(11,9,12)(11,12,9)(11,10,13)(11,13,10)
(12,5,9)(12,9,5)(12,13,33)(12,33,13)(12,15,19)(12,19,15)
(13,15,36)(13,36,15)
(15,18,49)(15,49,18)(15,21,32)(15,32,21)
(16,23,35)(16,35,23)
(19,2,5)(19,5,2)(19,33,36)(19,36,33)
(22,3,3)(22,41,41) 以上38組

回答No.3

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

設問1
2以上偶数の場合、左辺の項すべてが偶数になってしまうため、少なくとも2つ以上が奇数。

また、z⇔yの交換に対して、
xz－zy＋yx＝xy－yz＋zx
となるため、ひとつ組を見つけたときzとyを交換しただけの組がもうひとつ見つかる。

まず、z＝yの場合を考える。
2xy－y^2＝123
∴y＝x±√(x^2－123)

yが整数であるためには、x^2－123＝b^2である整数bが存在する必要がある。変形すると、
(x＋b)(x－b)＝3×41
x＋b＝41
x－b＝3

2式を足してx＝22が導かれ、b＝19から、y＝z＝3、41が導かれる。

(x,y,z)＝(22,3,3)、(22,41,41)

つぎに、y≠zの場合を考える。
xy＋z(x－y)＝123となるため、
x＝yのとき、123は平方数ではないので成り立たない。

xy＋z(x－y)＝123
y＝x＋aとおけば、
z＝(x^2－123)/a＋x

ここから順にしらみつぶしに見つけると、
(x,y,z)＝(6,35,3)、(7,5,44)、(9,2,15)、(9,3,16)、(9,6,23)、(9,7,30)、(10,9,33)、(11,9,12)、(11,10,13)、(12,5,9)、(12,13,33)、(12,15,19)、(13,15,36)、(15,18,49)、(15,21,32)、(16,23,25)、(19,2,5)、(19,33,36)
これに、yとzを交換したものを加えれば、すべての組み合わせになる。

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

設問2
＋、×、＋、×、－、＋、＋、×

回答No.1

asuncion

設問2
「小町算 100」あたりでググってみてください。きっと、お望みの答えが見つかると思います。