お願いします

質問

x＋y＋z=a, xy＋yz＋zx=b , xyz=cとおくとき
x＾3 ＋　y＾3＋　z＾3をa,b,cを用いて表すことがわかりません。

因数分解など考えたのですがわからなくて

答はa＾3 -3ab ＋3c

^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2xy-2yz-2zx
x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz
からどのように代入するかよくわからなくて
(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)がもうすこまとまれそうな感じがするのですが

例えば（ｘ－ｙ）＾2・(y-z)＾2・ (z-x)＾2
のような感じで
でもわかりません

おねがいします

回答No.3

twins-mama · ベストアンサー

x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz
がわかっていればもう大丈夫。
x＋y＋z=a, xy＋yz＋zx=b
だから、右辺でわかってないのは
x^2+y^2+z^2
の部分だけです。
x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2xy-2yz-2zx　　…(1)

だから、最初の式の2個目の括弧に注目すると
x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx
=((x+y+z)^2-2xy-2yz-2zx)-xy-yz-zx ∵(1)より
=(x+y+z)^2-3xy-3yz-3zx
＝(x+y+z)^2-3（xy+yz+zx）

では回答です
x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz
　　　　=(x+y+z)((x+y+z)^2-3(xy+yz+zx))+3xyz
　　　　=a(a^2-3b)+3c
=a＾3 -3ab ＋3c

回答No.4

kony0

#2さんへの補足について疑問点が・・・

「Aより」というのは、その４行ほど上にある
「x^2+y^2+z^2=a^2-2b」を指しており
（これは質問者の５行目そのもの）
それを単純にあてはめただけのものです。

この補足は、正直に申し上げて「算式アレルギー」による「思考停止」に思えてならず、本質的には「数学」の問題ではなく「言語解釈」の力量に問題ありです。（英語の長文読解でいう「"it"とは何を指していますか？」と同類の問題ができていない。）

ただただ回答者の書く算式を追いかけるだけではなく、なぜ回答者がそういう回答を書いているのか、「回答者の立てたシナリオ」を追いかけるようにしてください。それこそ、数学を使う職業に就く予定のない人が数学を勉強する価値だと思いますので・・・

回答No.2

himajin2005_RC4

もう敵軍(問題)撃墜あと一歩です
難しく考える必要はなく、じっくり見ましょう
頑張れ！

>x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2xy-2yz-2zx
>x＋y＋z=a
>xy＋yz＋zx=b
から
x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)
より
a^2-2bは出ているのですよね？・・・・A

では
x^2+y^2+z^2-xy-yz-zxは？
(x^2+y^2+z^2)-(xy+yz+zx)
Aより
(a^2-2b)-b=a^2-3b
よって
(与式)
=a(a^2-3b)+3c
=a^3-3ab+3c

補足

＞x^2+y^2+z^2-xy-yz-zxは？
(x^2+y^2+z^2)-(xy+yz+zx)
Aより
(a^2-2b)-b=a^2-3b
がどのように現れたかわかりません。
おねがいします

回答No.1

TK0318

x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz
ここのx^2+y^2+z^2に
x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2xy-2yz-2zx
を代入すると
x^3+y^3+z^3=(x+y+z)((x+y+z)^2-2xy-2yz-2zx
-xy-yz-zx)+3xyz
=(x+y+z)^3-3(xy+yz+zx)+3xyz
になります。