……数学Aの問題……

質問

X、Y、Zを実数とするとき、下記の問題を求めなさい

(1)　X^2＋Y^2＋Z^2≧XY＋YZ＋ZXを示し、等号が成り立つときの
X、Y、Zの条件を求めなさい。

(2)X＋Y＋Z＝1のとき、
XY＋YZ＋ZX≦1/3を示し、
等号が成り立つときのX、Y、Zの値を全て求めなさい。

を、教えてください(泣)

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

(1)（左辺）-（右辺）=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx
=(1/2)(x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2)
=(1/2){(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}
≧0（∵(x-y)^2≧0,(y-z)^2≧0,(z-x)^2≧0）

　　よって、x^2+y^2+z^2≧xy+yz+zx

　　なお、等号が成立するのは、
　　x=y,y=z,z=xすなわちx=y=zのとき。

(2)　(1)の結果を使います。
　　x^2+y^2+z^2≧xy+yz+zx・・・（i）
(x+y+z)^2-2xy-2yz-2zx≧xy+yz+zx
今、x+y+z=1だからこれを上式に代入して、
　　1≧3xy+3yz+3zx
∴xy+yz+zx≦1/3・・・（ii）

　　等号成立条件は、(1)よりx=y=zのとき（∵（ii）の証明に（i）式を利用したから、
　　　（ii）の等号成立条件は（i）と同じ）
　　今題意よりx+y+z=1なので、
　　x=y=z=1/3