数学の問題です。

質問

実数ｘ、ｙ、ｚは次の関係式を満たす。
　ｘ＋ｙ＋ｚ＝（1/ｘ）＋（1/ｙ）＋（1/ｚ）＝ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ

問題Ａ　　ｘ、ｙ、ｚのうち少なくとも１つは１に等しいことを示しなさい。

問題Ｂ　　ｘ＞0、ｙ＞0、Ｚ＞0の範囲で、ｘｙ＋2ｚの最小値を求めなさい。

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

相加平均・相乗平均を使うにしても、他の回答者が考えているようには、簡単にはいかない。
結構、いやらしい問題だ。

問題Ａ

ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝kとすると、条件から、k(xyz-1)＝0。
・k＝0のとき、ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ。常に、絶対不等式：(ｘ＋ｙ＋ｚ)＾2≧3(ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ)が成立するが、等号は　ｘ＝ｙ＝ｚのときだから、つまり、ｘ＝ｙ＝ｚ＝0となり、分母≠0より不適。
・xyz-1＝0の時、x、y、zは　t＾3-kt＾2＋kt-1＝(t-1)*{t＾2+(1-k)t+1}＝0の3つの解だから、題意のとおり、少なくても1つは1に等しい。

問題Ｂ

・x＝1の時、(y＝1でも同じ)　ｘｙ＋2ｚ＝ｙ＋2ｚで、yz＝1より、相加平均・相乗平均よりｙ＋2ｚ≧2√2　等号は？
・z＝1の時、(xy＝1)　ｘｙ＋2ｚ＝xｙ＋2＝3

2√2＞3より　最小値は　3.　この時、xy＝1、z＝1。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.5

mister_moonlight

問題Ａ は次のように考えても良い。

ｘ＋ｙ＋ｚ＝（1/ｘ）＋（1/ｙ）＋（1/ｚ）＝ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝k　とする。
Ｐ＝(1-x)*(1-y)*(1-z)＝1-(ｘ＋ｙ＋ｚ)＋(ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ)-xyz＝1ーk＋k-xyz＝1-xyz
条件式から、k(1-xyz)＝0。
(1)　k＝0の時、0＝0/xyz　となり不適。
(2)　1-xyz＝0の時、Ｐ＝1-xyz＝0だから、ｘ、ｙ、ｚのうち少なくとも１つは１に等しい。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.4

mister_moonlight

うっかりミスにつき、訂正。

・x＝1の時、(y＝1でも同じ)　ｘｙ＋2ｚ＝ｙ＋2ｚで、yz＝1より、相加平均・相乗平均よりｙ＋2ｚ≧2√2　等号は？
・z＝1の時、(xy＝1)　ｘｙ＋2ｚ＝xｙ＋2＝3

2√2＜3より　最小値は2√2　　この時、(x、y、z)＝(1、√2、1/√2)、or、(√2、1、1/√2)。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.2

Mr_Holland

問題A　
（１）　分数を通分して、(i)xyz=1 または (ii)x+y+z=xy+yz+zx=0 を求めてください。

（２）　(ii)のときに、3次方程式の解と係数の関係から　x,y,z を3解とする t の3次方程式立てると、x,y,z の1つだけが実数で他の2つが複素数になり、問題の条件を満たさないことを示してください。
　　（3次方程式の判別式が使えるなら、それを使っても構いません。）
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/polynomial/discriminant.htm

（３）　(i)のときに、x+y+z = xy+yz+zx =a とおいて、x,y,z を3解とする t の3次方程式を立ててください。

（４）　（３）で立てた t の3次方程式の左辺をf(t)とおいたとき　f(1)=0 となることを示してください。　（3次方程式を因数分解してもOKです。）

問題B　問題Aで求めた xyz を使って、相加相乗平均で求められます。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

うん, 数学の問題だね.

で?