sechを含んだ式の証明

質問

f(x) = 2 × ( 2 / e^x + e^-x )^2 = 2 × sech(x)^2
が
f'^2=(df/dx)^2=4×f(x)^2-2×f(x)^3
であることを示す証明ができません。

解き方がわかる方教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.2

Akira_Oji

第１回答者のinfo22さんの回答で十分で、何も問題はありません。
蛇足ですが。

双曲線関数の性質に慣れていない人にとっては以下のような関係を復習して慣れておく必要がありそうです。
(coshx)^2-(sinhx)^2=1　　　　　（＊）

(coshx)'=sinhx
(sinhx)'=coshx
(tanhx)'=(sechx)^2
(sechx)'=-sechx・tanhx

そうすれば、例えば（＊）から両辺を(coshx)^2で割って、
1-(tanhx)^2=1/(coshx)^2=(sechx)^2
から
(tanhx)^2=1-(sechx)^2
などの関係を導くのが容易になるのではないでしょうか。

これらの関係式はご存知のように、オイラーの式
cosx=(e^(ix)+e^(-ix))/2
sinx=(e^(ix)-e^(-ix))/2i

と双曲線関数の定義
coshx=(e^(x)+e^(-x))/2
sinhx=(e^(x)-e^(-x))/2
を使って得られる関係

cos(ix)=coshx
sin(ix)=isinhx
tan(ix)=itanhx

を代入して、三角関数の各種の公式を利用して得られる関係です。

例えば、
(cosy)^2+(siny)^2=1
にy=ixを代入して、（＊）が得られます。

また、微積分も、例えば、
(d/dy)(tany)=(secy)^2
から両辺にy=ixを代入して、
(d/d(ix))(tan(ix))=(sec(ix))^2
(1/i)(d/dx)(itanhx)=(sechx)^2
(d/dx)(tanhx)=(sechx)^2

などなど

回答No.1

info22

正しい書き方に注意
>f(x) = 2 × ( 2 / e^x + e^-x )^2 = 2 × sech(x)^2 ×
f(x) = 2*{2/(e^x + e^-x )^2} = 2*{sech(x)}^2

>f'^2=(df/dx)^2=4×f(x)^2-2×f(x)^3
{f'(x)}^2={df(x)/dx}^2=4{f(x)}^2-2{f(x)}^3

f'(x)=df(x)/dx=4sech(x){sech(x)}'
=4sech(x){1/cosh(x)}'
=4sech(x)[-1/{cosh(x)}^2]*{cosh(x)}'
=-4[{sech(x)}^3]*sinh(x)
=-4sinh(x)/{cosh(x)}^3
{f'(x)}^2=16{sinh(x)}^2/{cosh(x)}^6　…(●)
ここで、{sinh(x)}^2={cosh(x)}^2 -1

f(x)=2/{cosh(x)}^2 を
> 4{f(x)}^2-2{f(x)}^3 = ←この計算結果(■)
に代入して計算して下さい。
式を整理した(■)が(●)に等しくなることを示せば
証明終わりです。

お礼

お礼遅れましてすいません＞＜
よくわかりました。ありがとうございます。