全微分の式

質問

2変数関数F(X,Y)の全微分dF(X,Y)について、dF(X,Y)=δF(X,Y)/δX・dX+δF(X,Y)/δY・dYが成立するのを証明していただけませんか？

講義だと、Xがaからh、Yがbからkに移動するときの平均変化率が、[F(X+a, Y+b)-F(X,Y)]/(h+k)^2みたいに書かれていて（すいません、書き間違えているかもしれません・・・うろ覚えなので）、どうして分子が(h+k)^2なのか分からないのです・・・。なお、上のdF(X,Y)=δF(X,Y)/δX・dX+δF(X,Y)/δY・dYは、微分の公式としてよく出てくる(XY)'=X'Y+Y'Xと同じ物ですか？

回答No.2

kfnorisu · ベストアンサー

＞[F(X+a, Y+b)-F(X,Y)]/(h+k)^2
＞分子が√(h+k)^2

この場合、分母じゃないですかね？平均変化率のお話でしたら
「平均変化率」 =　「着目している量の変化」÷「着目している量に関連するものの変化」
という形（語弊があるかもしれませんが）です。関数f(x,y)に対して点(a,b)から(c,d)の「着目している量の変化」は
「着目している量の変化」=f(c,d)-f(a,b)
となります。ところが「着目している量に関連するものの変化」の表現は少し考えなければなりません。というのも
「平均変化率」、「着目している量の変化」、「着目している量に関連するものの変化」は（この場合）ともに実数でなければなりません。ところが、着目している量に関連する量は実数ではありません。ベクトルとして記述すれば(x,y)や(a,b)(c,d)です。つまり
｛f(c,d)-f(a,b)｝÷{(c,d)-(a,b)｝
という演算は平均変化率の計算では想定外のものになってします。このため(a,b)から(c,d)への変化量を距離で表します。距離は集合によって固有に定められるわけではなく、自分で定めても構いませんが、通常微分などを考える場合には
√{(c-a)^2+(d-b)^2}
という距離を用います。このような距離は「ユークリッド距離」と呼ばれます。距離を用いれば「平均変化率」は
｛f(c,d)-f(a,b)｝÷√{(c-a)^2+(d-b)^2}
として計算できます。
すなわち平均変化率の分母が√h^2+k^2とする理由は、(x,y)から(x+h,y+k)の変化を実数で表すためです。ただ、おそらく表現方法に関しては事前に教科書で整理がされていると思われます。

お礼

丁寧にありがとうございました。曖昧な質問で答えにくかったかもしれませんが、とても参考になりました

回答No.1

kfnorisu

自分は物理系の学生です。ですので参考までに見てください。どうも数学屋さんと物理屋さんでは書き方が違うところがあるようなので、混乱させてしまったらごめんなさい。
　まず前半のご質問ですが、（回答しといてなんですが）あまり意図がくみとれません。おそらく
「F(x,y)が点(x,y)において全微分可能とする。すなわち
F(x+h,y+k) - F(x,y) = Ah+Bk+o(Sqrt(h^2+k^2))なる実数ABが存在するとする。このときA=∂F/∂x,B=∂F/∂yとなることを示せ。」
か
「Fが全微分可能であることに対し、点(0,0)においてf(0,0)=∂F/∂x,g(0,0)=∂F/∂yとなるような連続関数があり、十分小さなh,kに対して
F(x+h,y+k)=F(x,y) + f(h,k)・h + g(h,k)・k
が成立することは必要十分条件である」
という問題ではないでしょうか？ちがっていたらごめんなさい。回答は問題を確認してから考えることをお勧めします。
　後半の問題ですが、
＞dF(X,Y)=δF(X,Y)/δX・dX+δF(X,Y)/δY・dYは、微分の公式としてよく出てくる(XY)'=X'Y+Y'Xと同じ物ですか？
とありますが、自分は違うものと認識しています。共通点はあるとは思います。「同じ」がどういう意味合いを持っているかわかりませんが、
dF(X,Y)=δF(X,Y)/δX・dX+δF(X,Y)/δY・dY
はＦの微小変化をXとYの微小変換の定数倍で表現しようとしています。
(XY)'=X'Y+Y'X
は、何で微分しているかわからないので仮にtで微分するとすると,Fの微小変化をtの微小変化の定数倍で表現しようとしたときの、tの係数のお話です。そもそも、前者が微小変化の表現で、後者が微小変化の表現に用いる係数のお話なので比較そのものができないですね。もし意図している内容が
F=XYとして
dF(X,Y)=δF(X,Y)/δX・dX+δF(X,Y)/δY・dY
dF=d(XY) = (X'Y+XY')dt
のお話でしたら、ともにFの微小変化を表現しているという点で同じものです。しかし、何で表現するかという点では全く違うものです。

補足

ありがとうございます。実は経済学の授業なのです。F(X,Y)の全微分dF(X,Y)が、dF(X,Y)=δF(X,Y)/δX・dX+δF(X,Y)/δY・dYということを示していたのですが、平均変化率の分子が√h^2+k^2になることが理解できなかったのです。

経済学という事で微分に関しては、かなり物理系と比べると、よくも悪くも適当みたいなのですね・・・。