式の証明

質問

次の式を証明せよという問題解決つまづいています。問題の式だけを見ると何となくわかるのですが上手く証明の式にすることができません。

どのように書いていったら良いか解説お願いいたしますm(__)m

次の式を証明せよ。ただしf、g、hは関数であり、f≠0である。

(1)d/dx (f+g)=d/dx (f)+d/dx ( g)
(2)d/dx (f＊g)=g＊{d/dx ( f )}+f＊{d/dx ( g ) }
(3)d/dx (g/f)=1/f^2 {f＊d/dx(g)-g＊d/dx(f)}
(4)d/dx (f＊g＊h)=g＊h＊d/dx(f)+f＊h＊d/dx(g)+f＊g＊d/dx(h)

後半のほうは少しややこしく読みにくいですすみません…

よろしくお願いいたしますも

回答No.2

NemurinekoNya · ベストアンサー

limはlim[h→0]の略記号です。

(1)
lim {f(x+h)+g(x+h) - (f(x)+g(x))}/h = lim (f(x+h)-f(x))/h + lim (g(x+h)-g(x))/h
∴d(f(x)+g(x))/dx = d/dx(f(x)) + d/dx(g(x))

(2)
f(x+h)*g(x+h)-f(x)*g(x)=(f(x+h)-f(x))*(g(x+h)-g(x))+f(x+h)g(x)+f(x)g(x+h)-2f(x)g(x)
= (f(x+h)-f(x))*(g(x+h)-g(x))+g(x)(f(x+h)-f(x))+f(x)(g(x+h)-g(x))

d(f(x)*g(x))/dx
=lim (f(x+h)*g(x+h)-f(x)*g(x))/h
=lim {(f(x+h)-f(x))*(g(x+h)-g(x))+g(x)(f(x+h)-f(x))+f(x)(g(x+h)-g(x))}/h

ここで
lim (f(x+h)-f(x))*(g(x+h)-g(x))/h
= lim (f(x+h)-f(x))/h*lim (g(x+h)-g(x))/h*(lim h)　　　（∵lim h = 0)
=0

lim {g(x)(f(x+h)-f(x))}/h = g(x)*lim (f(x+h)-f(x))/h = g(x)*d/dx(f(x))
lim {f(x)(g(x+h)-g(x))}/h = f(x)*lim (g(x+h)-g(x))/h = f(x)*d/dx(g(x))

よって
dx (f＊g)=g＊{d/dx ( f )}+f＊{d/dx ( g ) }

(3)
　(2)を使えば
d/dx(g(x)/f(x)) = g(x)*d/dx(1/f(x))+1/f(x)*d/dx(g(x))　　　　…(a)
になるので、まずd/dx(1/f(x))を計算する。

1/f(x+h)-1/f(x) = (f(x)-f(x+h))/(f(x+h)f(x)) = -(f(x+h)-f(x)))/(f(x+h)f(x))
なので、
d/dx(1/f(x)) = lim (1/f(x+h)-1/f(x))/h = -lim {(f(x+h)-f(x))/h}/(f(x+h)f(x))
= -d/dx(f(x))/f(x)^2　　　　（∵lim f(x+h) = f(x)）
これを(a)式に代入すれば、証明する式は出てきます。

(4)
これは(2)の結果を使えば自然に出てきます。
f,g,hはf(x),g(x),h(x)の意味。「’」は微分の意味。

(f*g*h)' = (f*g)'*h + (f*g)*h'
= (f'*g+f*g')*h + f*g*h'
=f'*g*h + f*g'*h + f*g*h'

で証明終了。

お礼

ご返答ありがとうございます。
細かい部分までの解説とても分かりやすかったです。(1)と(2)の解説で残りの問題も解きやすくなりました。

ご協力感謝します♪

回答No.1

DJ-Potato

微分の定義は
y = f(x)
y' = lim[dx→0] {f(x+dx)-f(x)}/dx
ですね。

ちょっと(　)が多くなって見にくいので、数学的に一般的ではないですが、
f = f(x)
F = f(x+dx)
f' = d/dx f(x)
のように書いていいですか。

ちなみに
lim[dx→0] F = f(x+0) = f
です。

(1)
y = f + g
y' = lim[dx→0] {(F + G) - (f + g)}/dx
= lim[dx→0] {F-f}/dx + lim[dx→0] {G-g}/dx
= f' + g'

(2)
y = fg
y' = lim[dx→0] {FG - fg}/dx
= lim[dx→0] {FG - fG + fG - fg}/dx
= lim[dx→0] {(F-f)G + f(G-g)}dx
= f'g + fg'

(3)
y = g/f
y' = lim[dx→0] [G/F - g/f]/dx
= lim[dx→0] [{fG - Fg}/Ff]/dx
= lim[dx→0] [{fG - fg + fg - Fg}/Ff]/dx
= lim[dx→0] [{f(G-g) - (F-f)g}/Ff]/dx
= (fg' - f'g)/f^2

(4)
y = fgh
y' = {f(gh)}'
= f'(gh) + f(gh)'
= f'(gh) + f(g'h + gh')
= f'gh + fg'h + fgh'

お礼

ご返答ありがとうございます。
自分の中で少し難しく考え過ぎていたようで解説を読んで納得しました。
一つ一つ確認しながら問題が解けたので類似の問題も解けました！

ご協力感謝します♪