sechを含んだ式の証明

質問

f(x) = 2 × ( 2 / e^x + e^-x )^2 = 2 × sech(x)^2
が
f(x)'' = 4 × f(x) - 3 × f(x)^2
であることを示す証明ができません。

解き方がわかる方教えてください。

回答No.2

Tacosan

sech (ix) = sec x
を使っても解けるかも.

回答No.1

n05345

sech(x)'=-sech(x)*tanh(x)
tanh(x)'=(sech(x))^2
(tanh(x))^2=(sinh(x))^2/(cosh(x))^2=(cosh(x)^2-1)/(cosh(x))^2
=1-(sech(x))^2
なので、
f'(x)=(2sech(x)^2)'=4sech(x)*(sech(x))'=-4(sech(x))^2*tanh(x)
f''(x)=(-4(sech(x))^2*tanh(x))'
=(-4(sech(x))^2)'*tanh(x)+(-4(sech(x))^2)*(tanh(x))'
=-8sech(x)*(sech(x))'*tanh(x)-4(sech(x))^2*(sech(x))^2
=-8sech(x)*(-sech(x)*tanh(x))*tanh(x)-4(sech(x))^2*(sech(x))^2
=8(sech(x))^2*(tanh(x))^2-4(sech(x))^4
=8(sech(x))^2*(1-(sech(x))^2)-4(sech(x))^4
=8(sech(x))^2-12(sech(x))^4
=4f(x)-3(f(x))^2
と証明できます。

お礼

ありがとうございます！助かりました(^^)