「Ａｘ＝0かつx≠0」を満たすｘが存在する条件について（Ａは2次の正方行列、ｘは2次のベクトル）

質問

皆様、お世話になります。よろしくお願いします。

2次の正方行列Ａ、2次のベクトルｘにおいて
「detA＝0」→「『Ａｘ＝0かつx≠0』を満たすｘが存在する」
の証明がなかなかうまくいかずに困っております。

Ａ＝（a b）とおいてやると文字が４つもあり、0の時とそうでない時
　　　(c d)
で場合分けがとても複雑で分かりづらいのですが、
何かもっとうまい証明法や場合分けの仕方などないでしょうか？
よろしくお願い致します。

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

"xが存在する"の証明で一番簡単なのが、そのようなxをひとつ示せばよい。
実は、非常に簡単なxがそのような場合の候補としてあげられます。
(ヒント：detA=0からad-bc=0)
ただし、最終的にx≠0の条件を元に検証をする必要があります。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

なるほど！
x＝（d,-c）をとって、
後からｃ＝ｄ＝0の場合も0でないｘが存在することを示せば良いのですね。
うま過ぎます。どうもありがとうございます！

別のうまい回答もありそうなので、引き続き回答を募集します。
よろしくお願いします。

回答No.7

noname#101087

前稿(#6)は未熟。場合わけで、錯乱してます。
下記の場合わけで済むみたいです。(解空間が 2 次と 1 次)
非零要素を軸足(pivot)にすれば、余計な場合わけは不要。

>..... やはり二回は場合分けが必要みたいです。.....
これは、一本化できてませんが…。

　detA＝0　　(i.e. a*d = b*c)
　　↓
------------------------------------
(1) {a, b, c, d} のすべてが零の場合。
　自明。(解は二次元全空間になりますね)

(2) {a, b, c, d} が、少なくとも 1 つの非零を含む場合。
　a を非零とする。(一般性無損失)
　ax1 + bx2 = 0 の解は {-(b/a)*k, k} で一次元部分空間。(k は任意値)
　cx1 + dx2 へ代入して、
　　-c*(b/a)*k - d*k = 0
------------------------------------
　　↓
　ax1 + bx2 = 0 の解 {x10, x20} は cx1 + dx2 = 0 の解。
　よって、ax1 + bx2 = 0 だけに注目すればよい。

お礼

御礼が遅れてしまいましてすみません。

>(1) {a, b, c, d} のすべてが零の場合。
>(2) {a, b, c, d} が、少なくとも 1 つの非零を含む場合。

前回のお礼で最低二回の場合分けと書いたのですが、三回の間違いで、
私は場合分けを三回より少なくはできませんでした。
ずっといろいろ試して考えていたのですが、
この場合分け二回のやり方は最小ではないでしょうか。

場合分けは
普通(ⅰ）a≠0　(ⅱ）a＝0
とやりたくなると思うのですが、
場合分けを減らすには178tallさんのように4文字の対等性をうまく利用しないとダメですね。
答案の書き方などとても勉強になりました。
どうもありがとうございました。

回答No.6

noname#101087

detA＝0　　(i.e. a*d = b*c)
　　↓
(1) {a, b, c, d} のすべてが零の場合。
　自明。(解は二次元全空間になりますね)

(2) {a, b, c, d} が、少なくとも1 つの零と、少なくとも 1 つの非零を含む場合。
　非零個数の多いほうを {a, b} とする。(一般性無損失)
　a, b の少なくとも一方は非零だから、b が非零として、解は {k, -(a/b)*k} で一次元部分空間。(k は任意値)
　cx1 + dx2 へ代入して、
　　c*k - d*(a/b)*k = 0

(3) {a, b, c, d} がすべて非零の場合。
　解は {k, -(a/b)*k} で一次元部分空間。(k は任意値)
　cx1 + dx2 へ代入して、
　　c*k - d*(a/b)*k = 0
　　↓
　ax1 + bx2 = 0 の解 {x10, x20} は cx1 + dx2 = 0 の解。
　よって、ax1 + bx2 = 0 だけに注目すればよい。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

やはり場合分けを使うやり方は難しいですね。
「ad=bc」は２ベクトルの線型従属の条件なので、何とかベクトルで見通しよく処理できないかと考えていたのですが、やはり二回は場合分けが必要みたいです。

>(2) {a, b, c, d} が、少なくとも1 つの零と、少なくとも 1 つの非零を含む場合。
>非零個数の多いほうを {a, b} とする。(一般性無損失)

この辺りを思い付くのは私には若干難しいかもしれないと感じました。
再度の詳しいご回答どうもありがとうございます。

回答No.5

noname#101087

>「detA＝0」→「『Ａｘ＝0かつx≠0』を満たすｘが存在する」

　detA＝0
　　↓
　ax1 + bx2 = 0 の解 {x10, x20} は cx + dy = 0 の解。
　よって、ax1 + bx2 = 0 だけに注目すればよい。
　　↓
　ax1 + bx2 = 0 の解 {x10, x20} は一次元部分空間をなす。
　よって、非零要素を含む。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

実は引っかかってる部分は

>detA＝0
　　↓
　>ax1 + bx2 = 0 の解 {x10, x20} は cx + dy = 0 の解。
　>よって、ax1 + bx2 = 0 だけに注目すればよい。

の“↓”の部分でして・・・。
ここの証明の場合分けがすっきり行かずに苦戦しております。
よろしくお願い致します。

回答No.4

rinkun

xの候補としては(d,-c)の他に(-b,a)もありますね。
この両方が0だったらA=Oなので、xは何でも良いことになりますね。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。
rnakamraさんの解答の件ですね。

確かに(d,-c)と(-b,a)の両方を用いればよりスッキリした答案になりますね。
貴重なご意見、どうもありがとうございます。

回答No.3

hesaid

任意の↑y（≠↑0）で
A・{A-(a+d)E}↑y＝↑O
であるから、零ベクトルとならない　{A-(a＋d)E}↑y　が存在することを示せば良い。

お礼

ご回答どうもありがとうございます！

こちらもとてもエレガントな解答ですね。
すごいです！

最後の『{A-(a＋d)E}↑』がとても綺麗な形になり、あっさり証明完了となるのには驚きです。
どうもありがとうとうございます。

正直こんなにいろいろなすばらしい解法があるとは思いませんでした。
引き続き募集中です。

回答No.1

arrysthmia

成分計算は、止しましょうよ。
対偶を証明するのが得策です。

「任意の x について『Ax=0 ⇒ x=0』」⇒「Aの逆行列が存在する」⇒「detA≠0」

のセンで再考してみて下さい。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

>成分計算は、止しましょうよ。
そうですよね。成分計算を避けれるならば、避けたいと思っていたのですが、なかなか良い方法が思い付きませんで・・・。

対偶についてなのですが、ヒントを頂いて申し訳ないのですが、
>「任意の x について『Ax=0 ⇒ x=0』」⇒「Aの逆行列が存在する」⇒「detA≠0」
の先が全く進みません・・・。
パッと見た所元の式より複雑になっているような気がするのですが・・・。
すみません、もう少しヒントを頂けないでしょうか？
よろしくお願いします。