右逆行列の存在証明

質問

線形代数で行列の「正則」で悩んでいます。
手持ちの線形代数の本ではどの本も 「正則」の「定義」が

正方行列　A に対して XA = AX = E(単位行列)
となる X が存在する場合 A は「正則」である。

と定義し、これを出発点として様々な定義を導いています。
これはこれでよいのですが、しかし、よく考えてみると

1) XA=E が存在する場合 A は正則とする(左逆行列による正則の定義)
2) XA=E が存在する場合AX'=E が存在する(右逆行列の存在定理)
3) X = X' (左逆行列 と 右逆行列の同一性の定理)

というように、定義は基本的な定義と2個の定理に
分解できるような気がします。
定理なら証明が必要と思い、いろいろ考えてみたのですが、
1),かつ2) ⇒ 3) は XAX' = X = X' なので簡単なのですが、
2) をどうしても証明できません。

そもそもこのような定義から出発するのは間違っているのでしょうか？
また、2)の証明が載っている参考書はありませんでしょうか？

以上よろしくお願い致します。

回答No.2

noname#133363 · ベストアンサー

齋藤正彦『線型代数入門』（東大出版、1966年）は
XA=AX=EとなるXの存在でAの正則性を定義（p.41）しつつ、
区分けや基本変形を説明した上で、
「XA=EとなるXが存在すればAは正則、AX=EとなるXの存在を仮定しても同様」（p.49）を証明してる。
ちなみに行列の次数に関する帰納法を使って。

お礼

ありがとうございます。
ひどく有名な本だとは知っていたのですが、
どうやら本日中に入手出来そうです。

補足

報告です。
斎藤さんの証明では、掃き出しと区分けを使ってn-1次で成り立つなら
n次 でも成り立つことを示すという筋書きですね。
予備的な証明が結構必要ですが、それでもシンプルで美しいと思います。

他にも、ネットを探っていたら
1) 左逆行列が存在する時、右からのガウスジョルダンが最後まで成功することを
基本行列の性質と行列の結合則を使って背理法で示す方法。
2) 余因子行列を行列式で割ったものが、右逆行列と左逆行列になることを
強引に泥臭く計算で示す方法

などがありました。ここでは配列の数式を書くのが困難なので、これで失礼します。

回答No.1

Tacosan

手元で何冊かあさってみましたが, あんまり触れている本はないですね.

逆に言えば全くないわけでもなく,
「基礎から学ぶ行列と行列式」(秋山献之ら著, 培風館)
には「XA = AX = E」で逆行列を定義した後で定理として「XA = E または AX = E ならば X は A の逆行列」と書いています (ただし証明はなし).

また, さらに古い本ですが
「線形代数とその応用」(G. ストラング著, 山口昌哉監訳, 井上昭訳, 産業図書)
では
「長方形行列については, (左右の逆行列のうち) 一方の逆行列は存在するが他方は存在しないが, 正方行列ではこのようなことはない」
(カッコ内は私が補足) と述べ, (ガウスの消去法に基づく) 概略を示しています.

もっとも, ケイリー・ハミルトンの定理を仮定していいなら簡単だけどね.